Вероятность события. Определение вероятности события. Умножение зависимых событий. Вероятность суммы несовместных событий

Количественная оценка риска.

Количественная оценка риска позволяет наиболее точно судить о его величине, но при применении данного метода необходимо использование также аналитических процедур и математических методов. Для оценки количественной величины риска следует прежде всего выбрать показатели, по которым будет производиться выбор решения. Количественные показатели – система физических, натуральных и условных единиц, поэтому при количественной оценке риска могут быть использованы килограммы, количество дней просрочки платежа, рубли, проценты, коэффициенты и т.д. Выбор показателей зависит от вида оцениваемого риска и от целей, которые поставлены при принятии решения, т.е. в каждом случае выбирается соответствующий показатель и устанавливается его критериальная величина.

Основополагающим методом выбора решения является альтернатива – выбор между двумя или несколькими исключающими друг друга возможностями, при этом выбирается то решение, которому соответствует предпочтительная величина хозяйственного риска. В основе метода альтернативы лежит процесс сравнения. Необходимость оценки риска существует в следующих ситуациях:

1) ситуация определенности: когда все ожидаемые результаты точно известны и определены однозначно;

2) ситуации риска:

Когда возможен определенный набор альтернатив решения, при котором вероятности наступления каждого из вариантов можно определить статистически или экспертно, при этом рассматривается только стратегия ЛПР,

Когда возможен определенный набор альтернатив решения, при котором вероятности наступления каждого из вариантов можно определить статистически или экспертно, при этом учитываются не только действия ЛПР, но и действия другой стороны, участвующей в этой хозяйственной ситуации;

3) ситуации неопределенности:

Когда неизвестно заранее, какие варианты решений будут осуществлены, и нет никаких сведений о вероятности их наступления, но возможно определение диапазона, в котором будут находиться данные величины,

– когда неизвестно заранее, какие варианты решений будут осуществлены, и нет никаких сведений ни о вероятности их наступления, ни о диапазоне, в котором могут находиться данные величины.

Следует заметить, что каждой из перечисленных ситуаций присущи неопределенность и риск, но в разной степени, поэтому определение величины риска производится специальными методами.

В первой ситуации устанавливается цель оптимизации, выбирается показатель оценки риска и критерий его оценки, производятся

необходимые расчеты, а после сравнения результатов расчетов с критериями выбирается наиболее приемлемый вариант решения.

Для оценки риска во второй ситуации, как правило, используется метод теории вероятности. Однако, как отмечает П. Бернстайн, вероятность всегда несет в себе двоякий смысл: с одной стороны, это взгляд в будущее, с другой - истолкование прошлого; с одной стороны, речь идет о наших предположениях, с другой - о том, что мы действительно знаем . Часто вероятные события трактуются поразному в зависимости от точки зрения. Возникают два аспекта данной проблемы:

Блок «Управление бухгалтерскими рисками»

Применение теории вероятности для оценки риска.

При применении метода теории вероятности рассчитываются следующие показатели: математическое ожидание случайной величины, выбранной в качестве показателя оценки риска, ее абсолютная колеблемость (дисперсия, среднеквадратичное отклонение) и относительная колеблемость (коэффициент вариации), чем больше колебание лучайной величины, тем больший риск ей соответствует. При расчете данных показателей используются следующие формулы:

1) математическое ожидание случайной величины (хi):

Где p(xi) - вероятность наступления соответствующего события хi,

x - ожидаемое значение случайной величины хi;

2) дисперсия случайной величины:

3) среднеквадратичное отклонение случайной величины:

4) коэффициент вариации:

Существуют два метода определения вероятности наступления

события: объективный и субъективный, при применении которых исходят из аксиом классической теории вероятности:

1) вероятность случайного события x находится в диапазоне от 0 до 1:

2) полная группа событий - это такая их совокупность, из которой одно обязательно должно произойти, притом:

3) действуют теории сложения и умножения вероятностей.

Объективный метод основан на исчислении частоты, с которой

Тот или иной результат был получен в аналогичных условиях. Расчет вероятности (pi) осуществляется по формуле

где n - число событий с i$м исходом;

N - общее число наблюдаемых событий, относящихся к данной случайной величине.

Таким образом, хозяйствующий субъект объективным способом может определить вероятность, если у него есть некоторый опыт или иная информация в области оцениваемых событий. Оценить объективную вероятность наступления события также можно с помощью леммы Маркова и неравенства Чебышева. Применение этих показателей не требует большого количества накопленного статистического материала и времени на его сбор, ведь в экономике часто происходят уникальные события, не имеющие аналогов. Согласно лемме Маркова, если случайная величина х не принимает отрицательных значений, то для любого положительного числа справедливо следующее неравенство:

соответствии с неравенством Чебышева:

Данное неравенство позволяет находить верхнюю границу вероятности того, что случайная величина х отклонится в обе стороны от своего среднего значения на величину больше, чем е. Достоинством леммы Маркова и неравенства Чебышева является то, что они применимы при любом количестве наблюдений и любом законе распределения вероятностей.

Понятие «субъективная вероятность» было введено Джоном Мейнардом Кейнсом. Оно используется для часто встречаемых в экономике и бизнесе событий, при определении вероятности наступления которых невозможно ни применить расчет, ни поставить опыт. При оценке уровня субъективной вероятности эксперт, т.е. тот, кто оценивает вероятность, исходит из отношения правдоподобия (принципа безразличия), согласно которому одинаково правдоподобные события или суждения должны иметь одинаковую вероятность: если событие А одинаково правдоподобно с событием В, то p(А) = p(В). Более правдоподобные события должны иметь большую вероятность

Во-первых, необходимо разобраться в международной маркетинговой среде , и в частности в особенностях системы международной торговли . При рассмотрении конкретного зарубежного рынка нужно обязательно исходить из оценки его экономических, политико-правовых и культурных особенностей. Во-вторых, фирма должна решить, какой процент общего объема своих продаж она будет стремиться осуществить на внешних рынках , будет ли она действовать всего в нескольких или сразу во многих странах и в странах какого типа она хочет работать. В-третьих, ей предстоит решить, на какие конкретные рынки следует выйти, а это требует оценки вероятного уровня доходов на вложенный капитал в сопоставлении со степенью существующего риска . В-четвертых, фирме предстоит решить, как именно выходить на каждый привлекательный для нее рынок-с помощью экспорта, совместной предпринимательской деятельности или прямого инвестирования. Многие фирмы начинают как обычные экспортеры, затем приступают к совместному предпринимательству и в конце концов переходят к прямому инвестированию. Фирма должна непременно принять решение о том, в какой степени следует приспосабливать свои товары, стратегию стимулирования, цены и каналы распределения к специфике каждого зарубежного рынка. И наконец, фирме необходимо создать эффективную организационную структуру , специализированную на деятельности по международному маркетингу . Большинство фирм начинают с организации экспортного отдела и заканчивают созданием международного филиала. Однако некоторые идут дальше и превращаются в транснациональные компании , высшее руководство которых уже занимается планированием маркетинга и его управлением во всемирном масштабе.

Мы старались, насколько это возможно, использовать в качестве меры риска величину, определяемую формулой (1). Однако, практически апробированные методики количественной оценки различных рисков в настоящее время отсутствуют. Это относится и к процедуре оценки вероятности возникновения опасного события, и к процедуре оценки величины ущерба. Как правило, отсутствуют надежные базы данных по частоте отказов оборудования , частоте тех или иных аварий, частоте опасных ных событий и явлений. Это не позволяет использовать результаты них многолетних наблюдений, что дало бы возможность не только более достоверно определять средние величины рисков, но и диапазоны их колебаний.

Во многих случаях организация не располагает достаточной информацией для объективной оценки вероятности, однако, опыт руководства подсказывает, что именно может скорее всего случится с высокой достоверностью. В такой ситуации руководитель может использовать суждение о возможности свершения альтернатив с той или иной субъективной или предполагаемой вероятностью. Ставки на скачках, которые делаются до начала забегов, - пример определения предполагаемой вероятности. Люди располагают информацией и опытом - они знают, как выступала лошадь в других соревнованиях - но этого недостаточно для установления объективной вероятности.

Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность . Но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события. Из предшествующего рассмотрения напомним, что вероятность варьирует от 1, когда событие определенно произойдет, до 0, когда событие определенно не произойдет. Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.

Оценка вероятности срока наступления завершающего события в директивный срок

Для того чтобы управлять риском, обеспечивать промышленную безопасность, необходимо отчётливо понимать, что происходит. Количественные методы анализа риска создают базу для эффективного управления риском. Как правило, анализ риска состоит из трёх этапов, первым из которых является идентификация опасностей, т.е. перечень нежелательных событий, приводящих к аварии. Второй этап - это оценка вероятности наступления аварийной ситуации. На этом этапе, как правило, используются статистические данные по аварийности и надёжности технической системы, применяются логические методы анализа типа дерево событий и дерево отказов, а также экспертная оценка специалистов в данной области. На заключительном этапе анализа риска проводят оценку воздействий последствий аварии на людей, имущество и окружающую среду . Анализ риска - всегда сочетание возможных последствий и вероятности аварии.

Рисунок 3.3 показывает нашу оценку линии совокупных затрат на основе шести значений, нанесенных ранее на рис. 3.1. Оценочная линия совокупных затрат на рис. 3.3 пересекает вертикальную ось на уровне 100000 ф.ст. Ваш результат может оказаться иным, но такая разница допустима, поскольку мы используем субъективную визуальную оценку. В нашем примере точки, отражающие совокупные затраты прошлых лет и показанные на рис. 3.1, лежат довольно близко к прямой линии, так что степень различий визуальных оценок, вероятно, будет довольно мала.

Оценка вероятностей неопределенных исходов позволит осознать степень неопределенности и меру риска. В примере 9.5 приведены вероятности тех или иных вариантов развития благотворительного мероприятия.

Отметим, что оценка вероятностей была объединена с рассмотренным выше трехуровневым анализом. Это удобно и позволяет рассмотреть столько исходов и их вероятностей, сколько необходимо для детального анализа ситуации . Кроме того, сумма вероятностей исходов каждого из неопределенных событий в примере 9.5 равна единице. Это означает, что, хотя точно не известно, какими именно окажутся объем реализации и уровень

Столь незначительную распространенность отчасти можно объяснить трудностями оценки вероятностей исходов, а отчасти - и мнением о том, что аналитические выкладки усложняют восприятие.

Закон О несостоятельности (банкротстве) определяет признаки несостоятельности для предприятий всех форм собственности . Следует сказать, что Закон Об акционерных обществах устанавливает другие признаки неплатежеспособности акционерных обществ . Во-первых, в соответствии с Законом Об акционерных обществах строго оговаривается размер уставного капитала - 1000 МРОТ для открытых акционерных обществ и 100 МРОТ для закрытых акционерных обществ . Во-вторых, размер чистых активов не должен быть меньше уставного капитала . Если чистые активы меньше уставного капитала , то последний должен быть снижен до размера чистых активов (возможно путем снижения номинальной стоимости акций только с согласия акционеров). Если чистые активы по окончании второго и каждого последующего года остаются на уровне ниже уставного капитала , то общество подлежит ликвидации. Таким образом, ликвидация Акционерного общества вследствие неплатежеспособности может произойти и без в соответствии с Законом О несостоятельности- (банкротстве) .

Оценка вероятности того или иного результата инвестиционного проекта требует, чтобы человек, принимающий решение, мог предвидеть множество возможных вариантов и был в состоянии оценить вероятность наступления каждого из них. Окончательное инвестиционное решение может приниматься на различных иерархических уровнях организации. Это зависит от объема, типа и рискованности капиталовложений.

Величина резерва определяется отдельно по каждому сомнительному долгу в зависимости от финансового состояния погашения долга полностью или частично.

Резерв создается по результатам проведенной инвентаризации дебиторской задолженности . Величина резерва определяется отдельно по каждой сумме сомнительной задолженности в зависимости от финансового состояния (платежеспособности) должника и оценки вероятности погашения долга полностью или частично.

Однако применять коэффициент Альтмана для оценки вероятности банкротства российских предприятий можно с большой долей условности, так как веса данной функции необходимо рассчитывать по отечественной статистике, а достаточно длительных динамических рядов пока нет. Попытки модифицировать функцию с учетом российских условий делались, но сколько-нибудь достоверных и универсальных результатов пока не получено.

Как соотнести понятия уверенности и вероятности. Представляется, что непосредственным результатом профессионального суждения является оценка вероятности. Уверенность представляется лишь субъективным отражением вероятности их соотношение лишь позволяет сделать вывод о степени оптимизма того, кто определяет свою уверенность исходя из вероятности. Таким образом, для того, чтобы определить как соотносятся условия

Риск предпринимателя количественно характеризуется субъективной оценкой вероятности возникновения максимального или минимального дохода (убытков) от принятия решения . Чем больше диапазон между максимумом и минимумом результата при равной вероятности их получения, тем выше степень риска . Неопределенность условий рынка ставит предпринимателя перед выбором по принципу повезет - не повезет. Предприниматель в процессе своих действий должен предвидеть риск и противодействовать потерям.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ БАНКРОТСТВА

В теории и практике известно несколько подходов к оценке вероятности банкротства , основанных на использовании

Перечисленные основные и вспомогательные критерии используются при внутреннем и внешнем анализе при внутреннем - для своевременного принятия соответствующих мер, устранения выявленных симптомов, при внешнем - для адекватного реагирования по заключенным или предполагаемым сделкам. Преобладающим в практике подходом оценки вероятности банкротства является использование ограниченного количества показателей, на основании которых ее можно прогнозировать. Как правило, перечень этих показателей и их нормативные значения устанавливаются соответствующим постановлением правительства . Используются в основном коэффициенты текущей ликвидности , обеспеченности собственными средствами , восстановления (утраты) платежеспособности.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача № 1 (1).

Условие:

Вариант 1. P 6 , P 8 , A 6 2 , A 8 5 , C 6 2 , C 8 5 .

Решение:

P 6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 P 8 = 8! = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320

6 5 = 30 == 8 7 6 = 336

15 = = = 56

Задача № 2 (2) .

Условие:

В ящике случайным образом находится 10 рубашек, причем 4 из них высшего сорта. Покупатель берет наудачу 3 из них. Найти вероятность того, что из взятых рубашек окажется высшего сорта хотя бы 1 рубашка.

Решение:

Способ 1:

А - событие взятия 1 рубашки высшего сорта

B - событие взятия 2 рубашек высшего сорта

C - событие взятия 3 рубашек высшего сорта

R - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

P(R) = P(A) + P(B) + P(C) = ++ =

2 способ :

А - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

Ни одна из рубашек высшего сорта не взята

P(A) + P() = 1 P(A) = 1 - P()

P() = = = P(A) = 1 - =

Задача № 3 (1) .

Условие :

Имеется 3 партии деталей по 30 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой партии - 30, во второй - 20, в третей партии - 15. Из наудачу выбранной партии наудачу извлекают деталь, оказавшуюся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии извлекают деталь, тоже оказавшуюся стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третей партии.

Решение:

А - событие извлечения стандартной детали в каждом из двух испытаний

В 1 - детали извлекались из первой партии

В 2 - детали извлекались из второй партии

В 3 - детали извлекались из третей партии

Так как детали извлекались из наудачу взятой партии, то P(B1) = P(B2) = P(B3) =

(А) = 1 - вероятность извлечения стандартных деталей из 1 партии

(А) = = - вероятность извлечения стандартных деталей из 2 партии

(А) = = - вероятность извлечения стандартных деталей из 3 партии

P A (B 3) = == =

Задача № 4 (3) .

Условие:

Отдел технического контроля проверяет на стандартность 1000 деталей. Вероятность, что деталь стандартна, равна 0.9. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных.

Решение:

P = 0.9 - вероятность того, что деталь стандартна

q = 1-P = 0.1 - вероятность того, что деталь нестандартна

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты стандартных деталей от числа P не превысит положительного числа?, определяется из удвоенной формулы Лапласа:

Ф(105?) = =0.475

По таблице значений функции Ф(х) находим, что х = 1.96. Откуда 105? = 1.96, значит? ? 0,0186.

Таким образом, границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных, удовлетворяет равенству:

0,0186 или 0,8814??0,9186

Отсюда искомое число стандартных деталей среди 1000 проверенных с вероятностью Q = 0.95 заключено в границах

881?m ?917

Задача № 5 (4).

Условие:

Экономист считает, что вероятность роста стоимости акций компании в следующем году составит 0.8, если экономика страны будет на подъёме, и 0.25, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна 0.55. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.

Решение:

А - событие, что акции компании поднимутся в следующем году

Н 1 - событие, что экономика страны будет на подъёме

H 2 - событие, что экономика страны не будет успешно развиваться

События Н 1 и Н 2 образуют полную группу событий. Так как:

P(H 1) = 0.55 - вероятность того, что экономика страны будет на подъёме

P(H 2) = 0.45 - вероятность того, что экономика страны не будет успешно развиваться

0.8 - вероятность роста акций при подъёме экономики страны

0.25 - вероятность роста акций при неуспешном развитии экономики страны

По формуле полной вероятности получим:

P(A) = P(H 1) + P(H 2) = 0.8 0.55+0.25 0.45 = 0.44+0.1125 = 0,5525

Задача № 6 (5).

Условие:

Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течении обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0.88, от второй - с вероятностью 0.85. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0.16, для второй - 0.018. В случае банкротства инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность получить прибыль?

вероятность значение степень оценка

Решение:

А - событие получения инвестором прибыли

В 1 - событие банкротства первой фирмы

В 2 - событие банкротства второй фирмы

С 1 = В 1 - событие банкротства только первой фирмы

С 2 = В 2 - событие банкротства только второй фирмы

С 3 = В 1 В 2 - событие банкротства обеих фирм

С 4 = - событие работы обеих фирм

Р(В 1) = 0.16 - вероятность банкротства первой фирмы

Р(В 2) = 0.018 - вероятность банкротства второй фирмы

Р С1 (А) = 0.85 - вероятность получения прибыли при банкротстве только первой фирмы

Р С 2 (А) = 0.88 - вероятность получения прибыли при банкротстве только второй фирмы

Р С 3 (А) = 0 - вероятность получения прибыли при банкротстве обеих фирм

Р С4 (А) = 1 - вероятность получения прибыли при работе обеих фирм

Р(С 1) = 0.16 0.982 = 0.1571 - вероятность банкротства первой фирмы

Р(С 2) = 0.84 0.018 = 0.0151 - вероятность банкротства второй фирмы

Р(С 3) = 0.16 0.018 = 0.0029 - вероятность банкротства обеих фирм

Р(С 4) = 0.84 0.982 = 0.8223 - вероятность работы двух фирм

Тогда по формуле полной вероятности получим:

P(A) = P C1 (A) P(C 1)+ P C2 (A) P(C 2)+ P C3 (A) P(C 3)+ P C4 (A) P(C 4) =

0.85 0.1571+0.88 0.0151+0 0.0029+1 0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691

Задача № 7 (1).

Условие:

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0.04. Какова вероятность того, что среди купленных 15 билетов окажется 3 выигрышных?

Решение:

Требуется найти вероятность n=3 успехов из N=15 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=0.04. По формуле Бернулли эта вероятность равна:

P 15 (3) = = 0.04 3 0.96 12 =455 0.000064 0.613=0.018

Задача № 8 (6).

Условие:

Вероятность банкротства одной из 9 фирм к концу года равна 0.24. Какова вероятность того, что к концу года обанкротится не более 3 фирм?

Р (n<3) = p (n=0 или n=1 или n=2 или n=3) = P 9 (0)+P 9 (1)+P 9 (2)+P 9 (3) =

1 0.0846+ 0.24 0.1113+ 0.0576 0.1465+ 0.138 0.01927 =

0.0846+0.2404+0.2363+0.2234 = 0.7847

Задача № 9 (1).

Условие:

Текущая цена ценной бумаги представляет собой нормально распределенную величину Х со средним =55 и дисперсией D X =4. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от Х 1 =53 до Х 2 =57 ден. единиц.

Решение:

Так как М(Х) ? =55, ? = = 2, то

P (53

Задача № 1 0 (7).

Условие:

Суммарная выручка 10 фирм в среднем равна S=11000. В 80% случаев эта выручка отклоняется от средней не более чем на?S = 500. Найти вероятность того, что очередная месячная выручка находится в интервале между 1000 и 10000.

Решение:

По условию задачи =P (10500

2=0.8, =0.4

то по таблице значений функции Ф(х) находим =1.28, ? = =390,625

P (1000

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.

контрольная работа , добавлен 13.01.2014

Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.

контрольная работа , добавлен 18.09.2010

Классическое определение вероятности события. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Построение многоугольника распределения. Поиск случайных величин с заданной плотностью распределения. Решение задач, связанных с темой вероятности.

задача , добавлен 14.01.2011

Применение классического определения вероятности для нахождения среди определенного количества деталей заданных комбинаций. Определение вероятности обращения пассажира в первую кассу. Использование локальной теоремы Муавра-Лапласа для оценки отклонения.

контрольная работа , добавлен 23.11.2014

Возникновение теории вероятности как науки. Классическое определение вероятности. Частость наступления события. Операции над событиями. Сложение и умножение вероятности. Схема повторных независимых испытаний (система Бернулли). Формула полной вероятности.

реферат , добавлен 22.12.2013

Общее понятие и характеристика простейшего пространства элементарных исходов. Способы вычисления вероятности события. Классическая вероятностная модель, ее главные свойства и доказательства. Основные аксиомы теории вероятности, примеры решения задач.

реферат , добавлен 24.04.2009

Способы вычисления наступления некоторого события. Решение задач, связанных с теорией вероятности. Использование таблицы функции Лапласа для определения теоретических частот нормального закона распределения. Определение исправленной выборочной дисперсии.

контрольная работа , добавлен 14.03.2015

Характеристика полной группы событий как совокупность всех возможных результатов опыта. Способы определения вероятности событий в задачах разного направления. Нахождение вероятности количества нестандартных деталей. Построение функции распределения.

задача , добавлен 19.03.2011

Изучение сути и выдвижение предположения о законе распределения вероятности экспериментальных данных. Понятие и оценка асимметрии. Принятие решения о виде закона распределения вероятности результата. Переход от случайного значения к неслучайной величине.

курсовая работа , добавлен 27.04.2013

Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.

Задача №1 (1).

Условие:

Вариант 1. P 6 , P 8 , A 6 2 , A 8 5 , C 6 2 , C 8 5 .

Решение:

P 6 = 6! = 6∙5∙4∙3∙2∙1 = 720 P 8 = 8! = 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 40320

6∙5 = 30 == 8∙7∙6 = 336

15 = = = 56

Задача №2 (2).

Условие:

Решение:

Способ 1:

А - событие взятия 1 рубашки высшего сорта

B - событие взятия 2 рубашек высшего сорта

C - событие взятия 3 рубашек высшего сорта

R - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

(A) =====(B) =====(C) =====(R) = P(A) + P(B) + P(C) = ++ =

2 способ :

А - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

Ни одна из рубашек высшего сорта не взята

P(A) + P() = 1 P(A) = 1 - P()() = = = P(A) = 1 - =

Задача №3 (1).

Условие :

Решение:

А - событие извлечения стандартной детали в каждом из двух испытаний

В 1 - детали извлекались из первой партии

В 2 - детали извлекались из второй партии

В 3 - детали извлекались из третей партии

Так как детали извлекались из наудачу взятой партии, то P(B1) = P(B2) = P(B3) =

(А) = 1 - вероятность извлечения стандартных деталей из 1 партии

(А) = ∙ = - вероятность извлечения стандартных деталей из 2 партии

(А) = ∙ = - вероятность извлечения стандартных деталей из 3 партии

P A (B 3) = ==∙=

Задача №4 (3).

Условие:

Решение:

P = 0.9 - вероятность того, что деталь стандартна

q = 1-P = 0.1 - вероятность того, что деталь нестандартна

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты стандартных деталей от числа P не превысит положительного числа ε, определяется из удвоенной формулы Лапласа:

Ф(105ε) = =0.475

По таблице значений функции Ф(х) находим, что х = 1.96. Откуда 105ε = 1.96, значит ε ≈ 0,0186.

≤0,0186 или 0,8814≤≤0,9186

Отсюда искомое число стандартных деталей среди 1000 проверенных с вероятностью Q = 0.95 заключено в границах

≤m ≤917

Задача №5 (4).

Условие:

Решение:

А - событие, что акции компании поднимутся в следующем году

Н 1 - событие, что экономика страны будет на подъёме

H 2 - событие, что экономика страны не будет успешно развиваться

События Н 1 и Н 2 образуют полную группу событий. Так как:

P(H 1) = 0.55 - вероятность того, что экономика страны будет на подъёме

P(H 2) = 0.45 - вероятность того, что экономика страны не будет успешно развиваться

0.8 - вероятность роста акций при подъёме экономики страны

0.25 - вероятность роста акций при неуспешном развитии экономики страны

По формуле полной вероятности получим:

P(A) = ∙P(H 1) + ∙P(H 2) = 0.8∙0.55+0.25∙0.45 = 0.44+0.1125 = 0,5525

Задача №6 (5).

Условие:

вероятность значение степень оценка

А - событие получения инвестором прибыли

В 1 - событие банкротства первой фирмы

В 2 - событие банкротства второй фирмы

С 1 = В 1 ∙ - событие банкротства только первой фирмы

С 2 = ∙В 2 - событие банкротства только второй фирмы

С 3 = В 1 ∙В 2 - событие банкротства обеих фирм

С 4 = ∙ - событие работы обеих фирм

Р(В 1) = 0.16 - вероятность банкротства первой фирмы

Р(В 2) = 0.018 - вероятность банкротства второй фирмы

Р С1 (А) = 0.85 - вероятность получения прибыли при банкротстве только первой фирмы

Р С2 (А) = 0.88 - вероятность получения прибыли при банкротстве только второй фирмы

Р С3 (А) = 0 - вероятность получения прибыли при банкротстве обеих фирм

Р С4 (А) = 1 - вероятность получения прибыли при работе обеих фирм

Р(С 1) = 0.16∙0.982 = 0.1571 - вероятность банкротства первой фирмы

Р(С 2) = 0.84∙0.018 = 0.0151 - вероятность банкротства второй фирмы

Р(С 3) = 0.16∙0.018 = 0.0029 - вероятность банкротства обеих фирм

Р(С 4) = 0.84∙0.982 = 0.8223 - вероятность работы двух фирм

Тогда по формуле полной вероятности получим:

P(A) = P C1 (A)∙P(C 1)+ P C2 (A)∙P(C 2)+ P C3 (A)∙P(C 3)+ P C4 (A)∙P(C 4) =

0.85∙0.1571+0.88∙0.0151+0∙0.0029+1∙0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691

Задача №7 (1).

Условие:

Решение:

P 15 (3) = =∙0.04 3 ∙0.96 12 =455∙0.000064∙0.613=0.018

=55 и дисперсией D X =4. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от Х 1 =53 до Х 2 =57 ден. единиц.- = + = Ф (23,04) = 0,5

Сэвэдж не зря обратил внимание теоретиков принятия решения на то обстоятельство, что человек руководствуется при выборе не объективными, а субъективными значениями вероятностей событий. Это общее положение нашло целый ряд экспериментальных подтверждений в психологических исследованиях.

Вера в контролируемость события, в то, что мы как-то можем повлиять на его исход, связана с субъективной вероятностью этого события. Если исход события имеет для нас позитивное значение (например, успешное окончание университета, рост объема продаж и т. п.), субъективная его вероятность растет с увеличением веры в контролируемость: чем более мы верим в то, что можем повлиять на исход события, тем выше оцениваем его вероятность (Langer E. J., 1975). Если же исход события носит отрицательный характер (например, заболевание, увольнение с работы и т. п.), то субъективная его вероятность уменьшается с увеличением веры в контролируемость.

По отношению к целому ряду ситуаций эта тенденция вполне обоснована, поскольку человек, стремящийся к позитивному исходу (или избегающий негативного) и способный повлиять на то, что с ним происходит, действительно делает позитивный исход более вероятным, а негативный - менее вероятным. Однако часто вера в подконтрольность ситуации оказывается иллюзорной, и в таких случаях оценка вероятностей событий оказывается ошибочной - завышенной или заниженной. В остроумных экспериментах Ланге (1975) показано, что у людей иногда возникает иллюзорная вера в контроль даже по отношению к совершенно случайным событиям. Для иллюстрации иллюзии контроля Ланге предоставил каждому из своих испытуемых возможность купить лотерейный билет стоимостью в 1 доллар. На этот билет можно было выиграть 50 долларов. Одной группе испытуемых экспериментатор позволил выбрать билет самостоятельно. Другая группа получила случайным образом выбранный билет от экспериментатора. До розыгрыша экспериментатор спросил каждого испытуемого из обеих групп, за какую цену они готовы были бы продать свой билет, если бы им готовы были заплатить за него больше исходной цены, т. е. больше, чем 1 доллар. В то время как испытуемые второй группы в среднем назвали цену в 1,96 доллара, испытуемые первой группы (те, которые выбирали билет самостоятельно)йапраши-вали в среднем 8,67 доллара. Логично допустить, что «самостоятельные» испытуемые запрашивали большую цену потому, что вероятность выигрыша им казалась большей, чем испытуемым другой группы. Таким образом, результаты этого эксперимента обосновывают тот факт, что вера в подконтрольность ситуации влияет на оценку вероятности события.

Другим хорошо изученным эффектом оценки вероятностей событий является так называемая эвристика доступности (Hogarth R. М., 1987). Суть этого эффекта состоит в том, что человек оценивает вероятность событий в зависимости от того, насколько легко примеры этих или подобных событий приходят на ум, всплывают в памяти. Обычно эта эвристика работает достаточно хорошо, т. к. при прочих равных условиях события, происходящие часто, легче вспомнить или представить, чем редкр встречающиеся. Но в ряде случаев эвристика доступности приводит к систематическим ошибкам. Некоторые события легче приходят на ум не потому, что они более вероятны, а в силу других факторов. Мы лучше помним событие, если оно случилось недавно, если оно имело сильное эмоциональное воздействие, если оно часто освещается в прессе и т. д. Все эти факторы приводят к тому, что мы оцениваем событие как более вероятное, часто не имея на это никаких реальных оснований.

В одном эксперименте американских студентов спрашивали, что является более вероятной причиной смерти в США: погибнуть под обломками падающего самолета или быть съеденным акулой. Большинство оценивали нападение акулы как более вероятное событие. Однако статистика показывает, что реальные шансы погибнуть под обломками самолета в 30 (!) раз больше, чем вероятность быть съеденным акулой (Pious S., 1993). По-видимому, фильм «Челюсти» и другая подобного рода информация сыграли здесь свою роль.

Другим, близким к эвристике доступности эффектом, связанным с восприятием и оценкой вероятности является эффект наглядности. Исследования показывают, что на наши оценки и суждения оказывает влияние яркость и живость информации (Nisbett R. & Ross L., 1980). Один из наиболее удачных экспериментов, демонстриру-ющий этот эффект, был проведен группой американских психологов в 1980 г. (Deaux К., et al., 1993). Испытуемые участвовали в качестве присяжных в имитации судебного разбирательства по поводу обвинения некоторого лица в вождении автомобиля в состоянии алкогольного опьянения. Половина испытуемых читала «бледное» заключение обвинителя и яркое заключение защитника, другая половина, наоборот, - яркое, наглядное заключение обвинителя и «бледное» заключение защитника. Например, «бледное» описание защиты выглядело так: «Обвиняемый не был пьян, поскольку он был достаточно внимателен, чтобы избежать столкновения со встречным автомобилем». А наглядное описание того же эпизода выглядело так: «Обвиняемый не был пьян, поскольку он сумел избежать столкновения с ярко оранжевым Фольксвагеном». Результаты эксперимента показали, что наглядность заключения не повлияла на оценку испытуемыми вины обвиняемого непосредственно после зачтения заключений, однако на следующий день, когда тех же испытуемых попросили вновь дать оценку виновности обвиняемого, те испытуемые, которые читали наглядное заключение обвинителя, сместили свои оценки в сторону признания виновности (процент вердиктов «виновен» относительно возрос), а те испытуемые, которые читали наглядное заключение защитника, сместили оценки в сторону признания невиновности.

По всей видимости, эффект наглядности можно объяснить более эффективным хранением в памяти яркой, живой информации по сравнению с информацией, лишенной черт наглядности (Deaux К., et al., 1993). Таким образом, наглядная информация при прочих равных условиях легче приходит на ум, а поэтому связанные с ней события оцениваются как более вероятные. Практическими рекомендациями, непосредственно основанными на данном эффекте, могут быть, например, следующие. Во-первых, оценивая вероятность альтернативных событий необходимо уравнять их в смысле статуса наглядности, например скорректировать описание событий таким образом,Цтобы эти описания не отличались по степени их живости. Во-вторых, можно влиять на восприятие другими людьми вероятностей тех или иных событий с помощью уменьшения или увеличения степени наглядности соответствующих описаний.

Продолжая рассмотрение эффектов оценки человеком вероятностей событий, необходимо отметить, что ошибки в восприятии вероятностей зависят не только от субъективных факторов (типа веры в подконтрольность событий) или особенностей презентации информации. Оказывается, что человек склонен переоценивать малые вероятности и недооценивать средние и большие (Kahneman D. & Tversky A., 1979).

Эффект субъективной оценки малых, средних и больших вероятностей пока не имеет обоснованной теоретической интерпретации. Тем не менее, при оценке реализуемости проектов с высокой степенью риска (низкой вероятностью успеха) нужно особенно внимательно следить за тем, чтобы избежать завышенной оценки или, наоборот, не перестраховаться чрезмерно там, где шансы на успех велики.

Якорный эффект имеет непосредственное отношение к народному выражению «плясать от печки». Наши оценочные суждения зависимы от точки отсчета, от исходного пункта. Представим себе такой странный, но вполне реальный эксперимент. Перед вами нечто подобное колесу рулетки. По периметру нанесены цифры. Экспериментатор запускает рулетку. В одной из двух групп испытуемых рулетка останавливается на цифре 65. Испытуемых спрашивают: «Скажите, пожалуйста, больше или меньше 65 процент африканских стран в Организации Объединенных Наций?» Следующий вопрос: «Каков, на ваш, взгляд, этот процент?» В другой группе испытуемых ситуация не отличается ничем, кроме того, что рулетка остановилась на цифре 10 и, соответственно, в первом вопросе цифра 65 была заменена на 10.

Посмотрим теперь, как отвечали испытуемые этих двух групп на вопрос о проценте африканских стран в ООН. Самое интересное заключается в том, что средние значения их ответов статистически значимо отличались. Испытуемые первой группы (той, в которой рулетка остановилась на 65) в среднем давали ответ 45%, в то же время, у испытуемых второй группы (той, в которой рулетка остановилась на 10) средняя оценка была равна 25 %. Испытуемые, как это обычно делается в таких случаях, были случайным образом выбраны из одной и той же популяции. Почему же тогда они дали ответы, так сильно различающиеся между собой? Единственная возможная причина (и различие в условиях) состоит в том, что испытуемые экспериментальных групп получили различные точки отсчета: первая - 65, вторая - 10. Эти якоря и повлияли на последующие оценки, хотя назначение якоря было совершенно случайным (рулетку вращали на глазах у испытуемых), и, кроме того, сам якорь не имел тематически никакого отношения к решаемой проблеме.

Можно ожидать, что приведенные данные вызовут недоумение, а потомш сомнение в том, что все это имеет хоть какое-нибудь отношение к реальной жизни и реальным оценкам, которые человек делает в естественных условиях. Однако эти сомнения будут безосновательными.

Рассмотрим данные другого эксперимента, который имеет самое непосредственное отношение к так называемой реальной жизни. Агентам по недвижимости (риэлтерам) была предоставлена возможность посетить дом, предназначавшийся для продажи. Этот дом был официально оценен экспертами в 135 тыс. долларов. Перед посещением дома риэлтеры получили стандартный 10-страничный пакет информации, который обычно используется для оценки стоимости недвижимости. Все агенты получили одну и ту же информацию за одним исключением: в пакетах одних агентов (группа 1) была указана цена на 11-12 % ниже реальной, других (группа 2) -$- на 4 % ниже реальной, третьих (группа 3) - на 4 % выше реальной, четвертых (группа 4)- на 11-12 % выше реальной. У риэлтеров было 20 минут для того, чтобы осмотреть дом, после чего они должны были дать свои оценки цены дома (всего четыре типа стандартных оценок). Результаты эксперимента приведены в табл. 2.

Таблица 2. Средние оценки, данные риэлтерами (в долл. США)