Непрерывные случайные величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Пример решения

9. Непрерывная случайная величина, её числовые характеристики

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью двух функций. Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется функция , определённая равенством
.

Интегральная функция даёт общий способ задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. В случае непрерывной случайной величины . Все события: имеют одну и ту же вероятность, равную приращению интегральной функции на этом промежутке, т.е.. Например, для дискретной случайной величины, заданной в примере 26, имеем:

Таким образом, график интегральной функции рассматриваемой функции представляет собой объединение двух лучей и трёх отрезков, параллельных оси Ох.

Пример 27 . Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения вероятностей

Построить график интегральной функции и найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение в интервале (0,5;1,5).

Решение. На интервале
графиком является прямая у = 0. На промежутке от 0 до 2 – парабола, заданная уравнением
. На интервале
графиком является прямая у = 1.

Вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение в интервале (0,5;1,5) находим по формуле .

Таким образом, .

Свойства интегральной функции распределения вероятностей:

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью другой функции, а именно, функции плотности вероятности
.

Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной Х, попадает в интервал
, определяется равенством
.

График функции называется кривой распределения . Геометрически вероятность попадания случайной величины Х в промежуток равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми
.

Свойства функции плотности вероятности :

9.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание (средним значением) непрерывной случайной величины Х определяется равенством
.

М(Х) обозначают через а . Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает аналогичными, как и дискретная величина, свойствами:

Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания, т.е. . Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется формулой
.

Дисперсия обладает свойствами:

Последнее свойство очень удобно применять для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины.

Аналогично вводится и понятие среднего квадратического отклонения. Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии, т.е.
.

Пример 28 . Непрерывнаяслучайная величина Х задана функцией плотности вероятностей
в интервале (10;12), вне этого промежутка значение функции равно 0. Найти 1) значение параметра а, 2) математическое ожидание М(Х), дисперсию
, среднее квадратическое отклонение, 3) интегральную функцию
и построить графики интегральной и дифференциальной функций.

1). Для нахождения параметра а используем формулу
. Получим . Таким образом,
.

2). Для нахождения математического ожидания используем формулу: , откуда следует, что
.

Дисперсию будем находить по формуле:
, т.е. .

Найдём среднее квадратическое отклонение по формуле: , откуда получим, что
.

3). Интегральная функция выражается через функцию плотностей вероятностей следующим образом:
. Следовательно,
при
, = 0 при
и = 1 при
.

Графики этих функций представлены на рис. 4. и рис. 5.

Рис.4 Рис.5.

9.2. Равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х равномерно на интервале , если её плотность вероятности постоянна на этом интервале и равна нулю вне этого интервала, т.е. . Легко показать, что в этом случае
.

Если интервал
содержится в интервале , то
.

Пример 29. Событие, состоящее из мгновенного сигнала, должно произойти между часом дня и пятью часами. Время ожидания сигнала есть случайная величина Х. Найти вероятность того, что сигнал будет зафиксирован между двумя и тремя часами дня.

Решение. Случайная величина Х имеет равномерное распределение, и по формуле найдём, что вероятность того, что сигнал будет между 2 и 3 часами дня, равна
.

В учебной и другой литературе часто обозначают в литературе через
.

9.3. Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если её закон распределения вероятностей определяется плотностью вероятности
. Для таких величин а – математическое ожидание,
- среднее квадратическое отклонение.

Теорема. Вероятность попадания нормально распределённой непрерывной случайной величины в заданный интервал
определяется по формуле
, где
- функция Лапласа.

Следствием этой теоремы является правило трёх сигм , т.е. практически достоверно, что нормальна распределённая, непрерывная случайная величина Х принимает свои значения в интервале
. Это правило выводимо из формулы
, являющейся частным случаем сформулированной теоремы.

Пример 30. Срок работы телевизора представляет собой случайную величину Х, подчинённую нормальному закону распределения, с гарантийным сроком 15 лет и средним квадратическим отклонением, равным 3 годам. Найти вероятность того, что телевизор проработает от 10 до 20 лет.

Решение. По условию задачи математическое ожидание а = 15, среднее квадратическое отклонение .

Найдём . Таким образом, вероятность работы телевизора от 10 до 20 лет более 0,9.

9.4.Неравенство Чебышева

Имеет место лемма Чебышева . Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного в
.

Учитывая, что , как сумма вероятностей противоположных событий, получим, что
.

Теорема Чебышева. Если случайная величина Х имеет конечную дисперсию
и математическое ожидание М(Х), то для любого положительного справедливо неравенство
.

Откуда следует, что
.

Пример 31. Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины деталей равна100 см., а среднее квадратическое отклонение равно 0,4см. Оценить снизу вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется не менее 99см. и не более 101см.

Решение. Дисперсия . Математическое ожидание равно 100. Следовательно, для оценки снизу вероятности рассматриваемого события
применим неравенство Чебышева , в котором
, тогда
.

10. Элементы математической статистики

Статистической совокупностью называют множество однородных предметов или явлений. Число п элементов этого множества называется объёмом совокупности. Наблюдаемые значения признака Х называют вариантами . Если варианты расположены в возрастающей последовательности, то получен дискретный вариационный ряд . В случае группировки вариант по интервалам получается интервальный вариационный ряд . Под частотой т значения признака понимают число членов совокупности с данной вариантой.

Отношение частоты к объёму статистической совокупности называют относительной частотой признака:
.

Соотношение между вариантами вариационного ряда и их частотами называют статистическим распределением выборки . Графическим представлением статистического распределения может служить полигон частот.

Пример 32. Путём опроса 25 студентов первого курса получены следующие данные об их возрасте:
. Составить статистическое распределение студентов по возрасту, найти размах варьирования, построить полигон частот и составить ряд распределения относительных частот.

Решение. Используя данные, полученные при опросе, составим статистическое распределение выборки

Размах выборки варьирования равен 23 – 17 = 6. Для построения полигона частот, строят точки с координатами
и последовательно их соединяют.

Ряд распределения относительных частот имеет вид:

10.1.Числовые характеристики вариационного ряда

Пусть выборка задана рядом распределения частот признака Х:

Сумма всех частот равна п.

Средним арифметическим выборки называют величину
.

Дисперсией или мерой рассеяния значений признака Х по отношению к его среднему арифметическому называют величину
. Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии, т.е. .

Отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому выборки, выраженное в процентах, называют коэффициентом вариации :
.

Эмпирической функцией распределения относительных частот называют функцию, определяющую для каждого значения относительную частоту события
, т.е.
, где - число вариант, меньших х , а п – объём выборки.

Пример 33. В условиях примера 32 найти числовые характеристики
.

Решение. Найдём среднее арифметическое выборки по формуле , тогда .

Дисперсия признака Х находится по формуле: , т. е. . Среднее квадратическое отклонение выборки равно
. Коэффициент вариации равен
.

10.2. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал

Пусть проводится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р . В этом случае вероятность того, что относительная частота будет отличаться от вероятности появления события А в каждом испытании по абсолютной величине не больше, чем на , приближённо равна удвоенному значению интегральной функции Лапласа:
.

Интервальной оценкой называют такую оценку, которая определяется двумя числами, являющимися концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр статистической совокупности.

Доверительным интервалом называют интервал, который с заданной доверительной вероятностью покрывает оцениваемый параметр статистической совокупности. Рассматривая формулу , в которой заменим неизвестную величину р на её приближённое значение , полученное по данным выборки, получим:
. Эта формула служит для оценки вероятности по относительной частоте. Числа
и
называют нижней и соответственно верхней доверительными границами , - предельной погрешностью для данной доверительной вероятности
.

Пример 34 . Заводской цех выпускает электрические лампочки. При проверке 625 ламп оказалось 40 бракованных. Найти с доверительной вероятностью 0,95 границы, в которых заключён процент брака лампочек, выпускаемых заводским цехом.

Решение. По условию задачи . Используем формулу
. По таблице 2 приложения находим значение аргумента, пи котором значение интегральной функции Лапласа равно 0,475. Получим, что
. Таким образом, . Следовательно, можно сказать с вероятностью 0,95, что доля выпускаемого брака цехом высока, а именно, изменяется в пределах от 6,2% до 6,6%.

10.3. Оценка параметров в статистике

Пусть количественный признак Х всей исследуемой совокупности (генеральной совокупности) имеет нормальное распределение.

Если среднее квадратическое отклонение известно, то доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а

, где п – объём выборки, - выборочная средняя арифметическая, t – аргумент интегральной функции Лапласа, при котором
. При этом число
называют точностью оценки.

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то по данным выборки можно построить случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с п – 1 степенями свободы, которое определяется только одним параметром п и не зависит от неизвестных а и . Распределение Стьюдента даже для малых выборок
даёт вполне удовлетворительные оценки. Тогда доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а этого признака с заданной доверительной вероятностью , находится из условия

, где S – исправленное среднее квадратическое, - коэффициент Стьюдента, находится по данным
из таблицы 3 приложения.

Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение этого признака с доверительной вероятностью , находится по формулам: и , где
находится по таблице значений q по данным .

10.4. Статистические методы изучения зависимостей между случайными величинами

Корреляционной зависимостью У от Х называют функциональную зависимость условной средней от х. Уравнение
представляет уравнение регрессии У на Х, а
- уравнение регрессии Х на У.

Корреляционная зависимость может быть линейной и криволинейной. В случае линейной корреляционной зависимости уравнение прямой линии регрессии имеет вид:
, где угловой коэффициент а прямой линии регрессии У на Х называется выборочным коэффициентом регрессии У на Х и обозначается
.

При малых выборках данные не группируются, параметры
находятся по методу наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:

, где п – число наблюдений значений пар взаимосвязанных величин.

Выборочный линейный коэффициент корреляции показывает тесноту связи У и Х. Коэффициент корреляции находится по формуле
, причём
, а именно:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х имеет вид:

При большом числе наблюдений признаков Х и У составляется корреляционная таблица с двумя входами, при этом одно и то же значение х наблюдается раз, одно и то же значение у наблюдается раз, одна и та же пара
наблюдается раз.

Пример 35. Дана таблица наблюдений признаков Х и У.

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х.

Решение. Связь между изучаемыми признаками может быть выражена уравнением прямой линии регрессии У на Х: . Для вычисления коэффициентов уравнения составим расчётную таблицу:

№ наблюдения

В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.

Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(aX

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0

Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb.
Справедливы следующие предельные соотношения:

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице:

Рисунок-1

Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

X	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:

Рисунок-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

(8)

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0.
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)

Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).

Решение: Искомая вероятность:

Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

M(x)=xf(x)dx (9)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то:

M(x)=xf(x)dx (10)

Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством:

P{X e (X)}=P{X>M e (X)}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Если возможные значения принадлежат всей оси х, то.

Математическое ожидание

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:

Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле

Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:

Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть . Числовые характеристики X :

Следовательно, . Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: .

Ответ: .

Пример 2.11. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

Решение: Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4.

Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы:

Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Ответ: , .

Пример 2.12. Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых.

Решение: В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число роз;

-- число белых роз;

– число одновременно взятых роз;

-- число белых роз среди взятых.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.13. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число собранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке;

– число выбранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.14. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Теперь вычислим числовые характеристики величины :

Ответ: , .

Пример 2.15. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает.

Решение: Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны .

Составим ряд распределения случайной величины:


	0,2

Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера:

Ответ: , .

Пример 2.16. Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p . Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N приборов.

Решение: Дискретная случайная величина X - число отказавших приборов в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p, распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

Пример 2.17. Дискретная случайная величина X принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X ) = 8.

Решение: Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины:

Находим: .

Пример 2.18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

Решение: В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле:

где - число партий;

Вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия.

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

Ответ: .

Пример 2.19. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M (X ) = 0,9.

Решение: Задачу можно решить двумя способами.

1) Возможные значения СВ X : 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий:

, , .

Тогда закон распределения X имеет вид:

Из определения математического ожидания определим вероятность :

Найдем дисперсию СВ X :

2) Можно использовать формулу:

Ответ: .

Пример 2.20. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Решение: Вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок от до выражается через функцию Лапласа:

Пример 2.21. Дана функция:

При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X .

Решение: Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству:

Следовательно:

Вычислим математическое ожидание по формуле:

Вычислим дисперсию по формуле:

T равна p . Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение: Закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании:

Пример 2.25. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах.

Решение: Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X - число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Пример 2.26. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент.

Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: . .

Пример 2.29. Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд.

Решение: В этом примере математическое ожидание , а интенсивность отказов равна .

Тогда искомая вероятность:

Пример 2.30. Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда?

Решение:

Пример 2.31.

Тогда согласно классическому определению вероятности: