Теория определителей. Элементы теории определителей Элементы теории определителей и матрицы

Средняя школа № 45.

Город Москва.

Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик).

Введение в теорию матриц и определителей .

1. Матрицы.........................................................................................................................................................

1.1 Понятие матрицы....................................................................................................................................

1.2 Оновные операции над матрицами................................................................................................

2. Определители...........................................................................................................................................

2.1 Понятие определителя..........................................................................................................................

2.2 Вычисление определителей................................................................................................................

2.3 Основные свойства определителей................................................................................................

3. Системы линейных уравнений................................................................................................

3.1 Основные определения.........................................................................................................................

3.2 Условие совместности систем линейных уравнений...........................................................

3.3 Решение ситем линейных уравнений метедом Крамера.....................................................

3.4 Решение ситем линейных уравнений метедом Гаусса........................................................

4. Обратная матрица.................................................................................................................................

4.1 Понятие обратной матрицы................................................................................................................

4.2 Вычесление обратной матрицы........................................................................................................

Список литературы..................................................................................................................................

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком .

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц : Суммой двух матриц, например: A и B , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = (С ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n , элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем:

+ =

=

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: A + B = B + A

2) сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы на вещественное число называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , элементы которой равны

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3 ) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) распределительным свойством относительно суммы матриц:

(A + B) = A + B

2) сочетательным свойством относительно числового множителя:

() A = ( A)

3) распределительным свойством относительно суммы чисел:

( + ) A = A + A .

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A . Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , имеющей порядки соответственно равные m и n , на матрицу B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , имеющую порядки соответственно равные n и p , называется матрица C = (С ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , имеющая порядки, соответственно равные m и p , и элементы Cij , определяемые формулой

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B . Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4 ) представляет собой правило составления элементов матрицы C ,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B . Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij , стоящий на пересечении i -й строки и j- го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j- го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Из формулы (1.4 ) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

1) сочетательное свойство: (AB) C = A (BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

A = , B =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Тема 1. Матрицы и определители матриц

Что узнаем:

Основные понятия линейной алгебры: матрица, определитель.

Чему научимся:

Производить операции над матрицами;

Вычислять определителями второго и третьего порядка.

Тема 1.1. Понятие матрицы. Действия над матрицами

∆ Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами.

Матрицы обозначают большими латинскими буквами, саму таблицу заключают в круглые скобки (реже в квадратные или другой формы).

Элементы а ij называют элементами матрицы . Первый индекс i – номер строки, второй j – номер столбца. Чаще элементами являются числа.

Запись «матрица А имеет размер m × n » означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов.

Если m = 1, а n > 1 , то матрица является матрицей – строкой . Если m > 1, а n = 1 , то матрица является матрицей – столбцом .

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов (m = n ), называется квадратной .

.

Элементы a 11 , a 22 ,…, a nn квадратной матрицы A (размера n × n ) образуют главную диагональ , элементы a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - побочную диагональ .

В матрице
элементы 5; 7 образуют главную диагональ, элементы –5; 8 – побочную диагональ.

Матрицы A и B называются равными (A = B ), если они имеют одинаковый размер и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают, т.е. а ij = b ij .

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, а остальные элементы равны нулю. Единичную матрицу обычно обозначают Е.

Матрицей, транспонированной к матрице А размера m × n , называется матрица А Т размера n × m , полученная из матрицы А, если ее строки записать в столбцы, а столбцы – в строки.

Арифметические действия над матрицами.

Чтобы найти сумму матриц A и B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

Сложение матриц коммутативно, то есть А + В = В + А.

Чтобы найти разность матриц A и B одной размерности, необходимо найти разность элементов с одинаковыми индексами:

.

Чтобы умножить матрицу A на число k , необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Произведение матриц AB можно определить только для матриц A размера m × n и B размера n × p , т.е. число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В . При этом A · B = C , матрица C имеет размер m × p , и ее элемент c ij находится как скалярное произведение i -й строки матрицы A на j -й столбец матрицы B : ( i =1,2,…, m ; j =1,2,…, p ).

!! Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Произведение матриц не коммутативно, то есть А·В ≠ В·А . ▲

☺ Необходимо разобрать примеры для закрепления теоретического материала.

Пример 1. Определение размера матриц.

Пример 2. Определение элементов матрицы.

В матрице элемент а 11 = 2, а 12 = 5, а 13 = 3.

В матрице элемент а 21 = 2, а 13 = 0.

Пример 3. Выполнение транспонирования матриц.

,

Пример 4. Выполнение операций над матрицами.

Найти 2 A - B , если , .

Решение. .

Пример 5. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A – 3 × 2 , матрицы В – 2 × 2 . Поэтому произведение А·В найти можно. Получаем:

Произведение В·А найти нельзя.

Пример 6. Найти А 3 , если А =
.

Решение. А 2 = ·=
=
,

А 3 = ·=
=
.

Пример 6. Найти 2 А 2 + 3 А + 5 Е при
,
.

Решение. ,

,
,

,
.

Задания для выполнения

1. Заполнить таблицу.

Матрица	Размер	Вид матрицы	Элементы матрицы
				а 12	а 23	а 32	а 33

2. Выполнить операции над матрицами
и
:

3. Выполнить умножение матриц:

4. Транспонировать матрицы:

? 1. Что такое матрица?

2. Как отличить матрицу от других элементов линейной алгебры?

3. Как определить размер матрицы? Для чего это необходимо?

4. Что означает запись а ij ?

5. Дайте пояснение следующим понятиям: главная диагональ, побочная диагональ матрицы.

6. Какие операции можно выполнять над матрицами?

7. Объясните суть операции умножения матриц?

8. Любые ли матрицы можно умножить? Почему?

Тема 1.2. Определители второго и третьего порядка : м етоды их вычисления

∆ Если А – квадратная матрица n -го порядка, то с ней можно связать число, называемое определителем n-го порядка и обозначаемое через |А|. То есть определитель записывается как матрица, но вместо круглых скобок заключается в прямые.

!! Иногда определители называют на английский манер детерминантами, то есть = det A.

Определитель 1-го порядка (определитель матрицы А размера 1 × 1 ) - это сам элемент, который содержит матрица А, то есть .

Определитель 2-го порядка (определитель матрицы Aразмера 2 × 2 ) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель 3-го порядка (определитель матрицы Aразмера 3 × 3 ) – это число, которое можно найти по правилу «треугольников»:

Для вычисления определителей 3-го порядка можно использовать более простое правило – правило направлений (параллельных линий).

Правило направлений : с права от определителя дописывают два первых столбца, произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус".

!! Для вычисления определителей можно использовать их свойства, которые справедливы для определителей любого порядка.

Свойства определителей:

1° . Определитель матрицы А не меняется при транспонировании, т.е. |А| = |А Т |. Данное свойство характеризует равноправность строк и столбцов.

2° . При перестановке двух строк (двух столбцов) определитель сохраняет прежнее значение, а знак меняется на обратный.

4° . Если какая-нибудь строка или столбец содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 4.1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 4.2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ему ряда, то определитель равен нулю. ▲

☺ Необходимо разобрать правила вычисления определителей.

Пример 1. Вычисление определителей второго порядка ,
.

Решение.

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Теория определителей возникла в XVIII веке в связи с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Однако, впоследствии определители нашли применение в самых различных разделах математики, в частности, в векторной алгебре, аналитической геометрии и математическом анализе.

§ 1. Определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и

,

где
- числовые коэффициенты системы (1).

Таблица, составленная из коэффициентов этой системы

,

называется матрицей коэффициентов системы (1).

Матрице (2) ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы
, которое обозначается
и вычисляется по правилу , т.е. определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на побочной диагонали матрицы . Определитель матрицы обозначают так

.

Найдём решение системы (1). Нетрудно убедиться, что оно выражается через коэффициенты системы так (предполагаем, что
):

;
.

Мы видим, что в знаменателе выражений для и стоит определитель , в числителе также стоят определители, которые мы обозначим через
и соответственно, т.е.

,
.

Нетрудно заметить, что определитель получается из определителя , если в нём заменить столбец коэффициентов при (первый столбец) столбцом из свободных членов, а определитель
- если второй столбец определителя заменить столбцом из свободных членов. Тогда решение системы (4) можно записать так:

,
(
).

Эти формулы называются формулами Крамера . Итак, для того, чтобы найти решение линейной алгебраической системы второго порядка достаточно подсчитать три определителя , , и составить их отношение.

Пример 1 . Найти по формулам Крамера решение линейной алгебраической системы

.

Решение . Вычислим определители , , :

По формулам Крамера

.

Итак,

.

Основные свойства определителей второго порядка

1.Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

2.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный, т.е.

3.Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя, т.е. , например,

4.Определитель с одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю, т.е.

5.Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю, т.е. например,

6.Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится, т.е. например

Все эти свойства доказываются непосредственным вычислением левой и правой части выражений, входящих в рассматриваемые равенства. Докажем, например, свойство 6.

Для этого вычислим определитель, стоящий в левой части равенства:

§ 2. Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу (таблицу) третьего порядка

.

Если в этой матрице вычеркнуть любую строку и любой столбец, то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Из квадратной матрицы третьего порядка можно получить девять квадратных матриц второго порядка. Введём несколько новых понятий.

Определение 1 . Минором элемента матрицы третьего порядка называют определитель матрицы второго порядка, которая получается из данной матрицы вычёркиванием -ой строки и -го столбца, т.е. строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента обозначается символом
. Например, минором элемента
матрицы (1) является определитель

.

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента матрицы третьего порядка называют число, равное произведению минора этого элемента на
.

Иначе: алгебраическое дополнение элемента - это минор, если сумма индексов
чётная, и минор, взятый с противоположным знаком, если сумма индексов нечётная. Алгебраическое дополнение элемента обозначается
, т.е. по определению
.

Пример 1. Вычислить алгебраические дополнения
и
матрицы

.

;
.

Замечание . Можно говорить также о минорах и алгебраических дополнениях элементов матрицы второго порядка, если под определителем матрицы, состоящей из одного элемента (матрицы первого порядка), понимать число, равное этому элементу.

Определение 3. Определителем (детерминантом ) квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка ) называем число, равное сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения . Т.е. по определению имеем

.

Пример 2 . Вычислить определитель матрицы

Замечание . Если в формулу (3) подставить выражения алгебраических дополнений через элементы матрицы, то получим

В этой формуле шесть слагаемых, причём каждое из них является произведением трёх элементов матрицы: по одному из каждой строки и из каждого столбца; три слагаемых входит со знаком «+», а три со знаком «-». В курсах высшей алгебры формула (4) принимается в качестве определения определителя третьего порядка.

§ 3. Основные свойства определителей 3-го порядка.

Нетрудно убедиться, что все свойства определителей 2-го порядка справедливы и для определителей 3-го порядка. Но как более сложный объект, определители 3-го порядка имеют и дополнительные свойства. Сформулируем и докажем все свойства полностью.

1.Определитель не изменяется, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

.

Доказывается разложением каждого определителя по элементам первой строки. В результате получаем одно и то же выражение.

2.Определитель равен сумме попарных произведений элентов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Окажем, например, равенство

Следовательно, .

Это свойство называют свойством разложения по элементам строки или столбца.

3.При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство . Пусть в матрице третьего порядка перестановлены первая и третья строки. Покажем, что

Разлагая определитель, стоящий в левой части равенства (3), по элементам первой строки, получим

Разлагая же определитель, стоящий в правой части этого равенства, по элементам третьей строки, получим

т.е. то же выражение, но с противоположным знаком.

4.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равен нулю.

Доказательство . Пусть - определитель матрицы с двумя одинаковыми строками. Если эти строки переставить местами, то определитель должен поменять знак. Но так как строки одинаковы, то определитель не изменится. Т.е. имеем
, откуда
или

5.Если все элементы какой-либо строки определителя умножить на число К, то весь определитель умножится на это число.

Доказательство . Покажем, например, что

.

Разложим по элементам второй строки. Тогда левая часть равенства может быть записана так:

где - определитель матрицы .

Это свойство иногда формулируют так: общий множитель всех элементов строки можно выносить за знак определителя.

6.Определитель, у которого соответствующие элементы двух строк пропорциональны, равен нулю.

Доказательство . Пусть, например, элементы третьей строки пропорциональны элементам первой, т.е.

Тогда, используя свойство 5, а затем 4, будем иметь

7.Определитель, у которого все элементы какой-либо строки пред-ставляют собой сумму двух слагаемых, равен сумме двух определителей, получаемых из данного заменой элементов рассматриваемой строки соответственно на первые и вторые слагаемые.

Доказательство . Пусть, например,

8.Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы любой другой строки, умноженные на общий множитель

Доказательство . Прибавим, например, к элементам первой строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на одно и то же число . Тогда, по свойству 7, а затем по свойству 6, будем иметь

9. Теорема замещения . Сумма произведений алгебраических дополнений какой-либо строки на числа , и равна определителю матрицы, получающиеся из данной, заменой рассматриваемых элементов соответственно на числа , и .

Доказательство . Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения элементов третьей строки:

и определитель

.

Разложив его по элементам первой строки, получим , т.е. исходное выражение.

10. Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю.

Доказательство . Рассмотрим, например, сумму произведений элементов третьей строки:

По теореме замещения (свойство 9) это выражение равно определителю, в третьей строке которой стоят числа , и
:

.

Этот определитель равен нулю по свойству 4, так как первая и третья строки совпадают.

Перечисленные свойства, особенно свойство 8, позволяют значительно упростить вычисление определителя, в частности свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка, вместо трёх.

Пример . Вычислить определитель

Прежде всего заметим, что элементы второго столбца имеют общий множитель 2, а элементы третьей строки – общий множитель 3. Поэтому, вынося эти множители за знак определителя, получим

.

Прибавляя теперь третью строку к первой, будем иметь

.

Разлагая этот определитель по элементам первой строки, в которой только один элемент отличен от нуля, получим

.

§ 4. Определители высших порядков

Определители высших порядков, т.е. четвёртого, пятого и т.д., определяются с помощью определителей меньшего порядка точно так, как был определён определитель третьего порядка.

Так, определитель четвёртого порядка равен по определению

,

где ,, и
- элементы первой строки, а
, ,
и
- соответствующие им алгебраические дополнения. Миноры и алгебраические дополнения определяются точно так же, как и для определителей третьего порядка. Таким образом, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к вычислению четырёх определителей третьего порядка.

Определитель порядка n по определению

.

Как видно, определитель n - го порядка определяется через n определителей n -1 порядка, каждый из них определяется через
определитель порядка n -2 и т.д.. Доводя разложение до определителей 2-го порядка и вычисляя их, получаем, что определитель n - го порядка представляет собой алгебраическую сумму n ! с лагаемых.

Все свойства, сформулированные и доказанные для определителей третьего порядка, справедливы и для определителей
-го порядка. И доказываются они аналогично.

Для вычисления определителей порядка используем свойство 8. С помощью этого свойства добиваемся того, чтобы в одной из строк или в одном из столбцов, все элементы, кроме одного, были равными нулю. Так что вычисление определителя - го порядка можно свести к вычислению одного определителя порядка .

Пример . Вычислить определитель пятого порядка

Замечаем, что в третьем столбце два элемента равны нулю. Можно в этом столбце получить ещё два нулевых элемента, если ко второй и четвёртой строкам прибавить пятую строку, умноженную соответственно на 3 и на «-4». Тогда получим

.

Таким образом

Для вычисления полученного определителя 4-го порядка прибавим к первой, третьей и четвёртой строкам вторую строку, умноженную соответственно на 2, -3, -2. Получим

Разлагая теперь определитель по элементам первого столбца, получим (вынося предварительно за знак определителя множитель «-10» у элементов третьей строки), что

Прибавляя к первой строке третью строку, будем иметь

Замечание . Существует и другое определение определителя матрицы порядка n : это сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждой строчки, по одному из каждого столбца и снабженных знаком по определённому правилу. Более подробно с теорией определителей можно ознакомиться, например, по книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры».

§5. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка

Исключая по очереди переменные , и , переходим к формулам; можно не вычислять, так как из того, что определитель матрицы A обозначается detA. Определителем n- ...

Метрические и нормированные пространства.

Евклидовы и унитарные пространства.

Евклидовы пространства. Скалярное произведение в евклидовом пространстве и его свойства.

Длина вектора в евклидовом пространстве, угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

Ортогональные и ортонормированные системы векторов в евклидовом пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

Процесс Штурма ортогонализации системы векторов.

Изоморфизм евклидовых пространств.

Унитарные пространства. Скалярное произведение в унитарном пространстве и его свойства.

Длина вектора в унитарном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

Ортогональные и ортонормированные системы в унитарном пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

Ортогональное дополнение к подпространству. Свойства ортогонального дополнения.

Представление пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.

Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора на подпространство.

Расстояние между вектором и подпространством, вектором и многообразием.

Угол между вектором и подпространством евклидового пространства, угол между вектором и многообразием евклидового пространства.

Метрические пространства. Предел последовательности в метрическом пространстве.

Шары в метрическом пространстве. Ограниченные множества. Предельные точки.

Полнота метрических пространств. Теорема о вложенных шарах.

Нормированные пространства. Связь нормированных и метрических пространств.

Покоординатная сходимость и сходимость по норме, связь между ними. Полнота нормированных пространств.

Линейные функционалы на линейном пространстве. Пространство линейных функционалов.

Билинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные и антисимметричные билинейные функционалы.

Полилинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные, антисимметричные, абсолютно симметричные и абсолютно антисимметричные полилинейные функционалы.

Определитель квадратной матрицы, как полилинейный абсолютно антисимметричный функционал. Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядка.

Свойства определителей.

Разложение определителя по элементам строки или по элементам столбца.

Миноры порядка, их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Метод вычисления определителей порядка приведением к треугольному виду.

Метод выделения линейных множителей при вычислении определителей порядка. Определитель Вандермонда.

Метод рекуррентных соотношений при вычислении определителя порядка.

Метод представления определителя в виде суммы двух определителей при вычислении определителей порядка.

Метод изменения элементов определителя при вычислении определителей порядка.

С линейными задачами, использующими теорию матриц, связан аппарат так называемых определителей, очень ценный по широте приложений к теоретическим вопросам.

1. Наводящие соображения.

Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Допустим, что система имеет решение и пара х, у составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Умножим обе части первого равенства на второго на и вычтем. Получим

Теперь первое равенство умножим на второе на , и сложим. Получим

Предположим, что . Тогда

Таким образом, предположив, что решение существует, мы смогли его найти. Теперь перед нами альтернатива - либо решение существует и тогда оно дается формулами (2), либо решение не существует. Для того чтобы отделаться от второй возможности, нужно только установить, что формулы (2) действительно дают решение системы, для чего следует подставить х и у из (2) в систему (1). Сделаем это:

Мы видим, что оба уравнения превратились в верные равенства.

Если а то наши рассуждения не приводят к законченному результату, и мы оставим этот случай пока в стороне.

В формулах (2) знаменатель один и тот же. Числители же очень похожи по форме записи на знаменатель.

Для выражения существует специальное название

определителя матрицы и специальное обозначение:

С помощью обозначений для определителей формулы (2) за писываются в виде

Применяя, например, эти формулы к решению системы

Разумеется, понятие определителя было бы не нужным, если бы шла речь только о системах двух уравнений с двумя неизвестными. Результат может быть обобщен на линейные системы уравнений с неизвестными.

Рассмотрим еще случай Пусть дана система

Исключим сразу неизвестные у и . С этой целью умножим первое уравнение на второе на третье на и сложим. Получим

Ясно, что коэффициенты при у и z равны нулю.

Коэффициент при играет здесь такую же роль, как для систем второго порядка. Он называется определителем матрицы и обозначается:

В этих обозначениях, если определитель не равен нулю,

Аналогично,

Наш вывод имеет смысл при предположении, что решение существует. Однако, если подставить найденные выражения для х, у, z в исходную систему, можно убедиться в том, что все три уравнения обратятся в верные равенства.

Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при и имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка

и третьего порядка

Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причем эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя. Произведения снабжаются знаками + и - по правилам

На этих рисунках соединены линиями элементы матрицы, составляющие произведения, входящие в определитель со знаками

Обратимся теперь к обобщению определителя для квадратных матриц любого порядка , исходя из формы этих выражений для

Здесь удобно обозначать элементы матрицы одной буквой, приписывая ей два индекса - номер строки и номер столбца. Дадим формальное определение определителя для квадратной матрицы порядка следующим образом:

Определителем квадратной матрицы порядка (или определителем порядка ) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки, по одному из каждого столбца и снабженных знаками «плюс» и «минус» по некоторому определенному правилу.

К вопросу о том, что это за правило, мы обратимся в ближайшее время, а пока попытаемся записать символически сформулированное выше определение. В каждом слагаемом определителя мы будем записывать сомножители в порядке следования строк. Номера столбцов будут составлять в совокупности все числа от 1 до , в различных порядках, причем во всех возможных порядках, так как определитель, согласно данному определению, составлен из всех произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. В буквенных обозначениях:

Здесь индексы пробегают все возможные перестановки чисел . Все перестановки должны быть разбиты на два класса так, чтобы одному классу соответствовали слагаемые со знаком «плюс», другому - со знаком «минус».