Стратегия вальда. Методы выбора альтернатив в условиях неопределенности

Близкой по идеям и методам к теории игр является теория статистических решений. От теории игр она отличается тем, что ситуация неопределенности не имеет конфликтной окраски – никто ни кому не противодействует, но налицо элемент неопределенности. В задачах теории статистических решений неизвестные условия операции зависят не от сознательно действующего противника, а от объективной действительности, которую в теории статистических решений принято называть “природой”. Соответствующие ситуации часто называют играми с природой (статистическими играми).

Часто эти ситуации вообще относят к теории игр, оговариваясь в определении игры, что одним из участников может быть среда (природа), действующая как сумма дезорганизующих обстоятельств, весь комплекс внешних условий, в которых игроку приходится принимать решение. Назовем этого игрока – статистиком.

Природа безразлична к выигрышу и не стремится обратить в свою пользу промахи статистика. Пусть статистик имеет m стратегий, а природа может реализовать n своих состояний. Если статистик имеет возможность оценить численно последствия каждой своей чистой стратегии при любом состоянии природы, то игру можно задать платежной матрицей. При упрощении платежной матрицы имеется специфика: нельзя отбрасывать те или иные стратегии “природы”, так как она может реализовать их вне зависимости от того, выгодны они статистику или нет.

При решении таких игр могут быть 2 ситуации:

· игроку А неизвестны вероятности pj , с которыми природа реализует свои состояния;

· вероятности pj известны.

Для принятия решения в таких играх используют различные критерии.

Если вероятности pj состояний природы неизвестны, то можно пользоваться критериями Вальда, Лапласа, Сэвиджа, Гурвица и пр. Основное различие между названными критериями определяется стратегией поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности. Например, критерий Лапласа основан на более оптимистичных предположениях, чем критерий Вальда. Критерий Гурвица можно использовать при различных подходах: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного. Таким образом, перечисленные критерии, несмотря на их количественную природу, отражают субъективную оценку ситуации, в которой статистику приходится принимать решение. К сожаленью, не существует общих правил оценки применимости того или иного критерия, так как поведение лица, принимающего решение, по всей видимости, является наиболее важным фактором при выборе подходящего критерия. Сформулируем эти критерии.

1. Критерий Лапласа

Этот критерий опирается на принцип недостаточного обоснования , по которому считается, что наступление всех состояний природы равновероятно, то есть p 1 = p 2 =...= p n =1/ n , а оптимальной считается стратегия Ai , обеспечивающая

. (5.1)

2. Критерий Вальда (минимаксный или максминный критерий )

Этот критерий является наиболее осторожным, поскольку основан на выборе наилучшей из наихудших возможностей:

– в случае нахождения выигрыша;

– в случае нахождения потерь.

Это пессимистические критерии.

3. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска)

Критерий Вальда настолько пессимистичен, что может привести к нелогичным выводам. Рассмотрим следующую матрицу потерь, которая обычно приводится в качестве классического примера для обоснования “менее пессимистичного” критерия Сэвиджа.

	11000
	10000	10000

Применение минимаксного критерия приводит к выбору стратегии А2, хотя интуитивно можно выбрать А1, так как при этом выборе можно надеется проиграть 90, тогда как выбор А2 всегда приводит к потерям в 10000 единиц при любом состоянии погоды..

Критерий Сэвиджа “исправляет” положение введением новой матрицы потерь, в которой заменяются на font-size:14.0pt;line-height: 150%">, определяемые следующим образом:

Это означает, что есть разность между наилучшим значением в столбце j и значением .

По существу, выражает сожаление лица, принимающего решение, по поводу того, что он не выбрал наилучшего действия относительно состояния j . Матрица R =() ê называется матрицей сожаления или матрицей риска.

Найдем оптимальную стратегию предыдущей задачи по этому критерию:

.

Применим к матрице “сожаления” R минимаксный критерий. Получим, что оптимальной стратегией будет– А1.

Отметим, что независимо от того, – доход или потери, – всегда потери. Поэтому к матрице “сожаления” всегда применяется минимаксный критерий.

4. Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма)

Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного.

При оптимистичном подходе выбирают стратегию, дающую :

, если – выигрыш, и

, если – потери.

Аналогично при наиболее пессимистичных предположениях выбираемое решение соответствует : , если – выигрыш, и

font-size:14.0pt;line-height: 150%">, если – потери.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего оптимизма и пессимизма взвешиванием обоих способов поведения с соответствующими весами a и 1- a , где 0 £ a £ 1.

Если – прибыль, то выбирается стратегия по правилу:

Если – затраты, критерий выбирает стратегию, дающую

Параметр a интерпретируется как показатель оптимизма; при a =1 критерий слишком оптимистичный, при a =0 он слишком пессимистичный. Значение a между 0 и 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. a =0,5 представляется наиболее разумным.

Анализ практических ситуаций обычно проводится на основе нескольких критериев, что позволяет глубже исследовать суть явления.

Пример.

Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принимать одно из следующих значений: 200, 250, 300, 350. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса.

Потери в зависимости от ситуации приведены в следующей таблице:

Клиенты Предложен.
a 1
a 2
a 3
a 4

· Критерий Вальда . Так как – потери, применяем минимаксный критерий.

Оптимальной стратегией будет А3.

· Критерий Лапласа . Пусть стратегии 2-го игрока равновероятны. Следовательно . Тогда:

EN-US">EN-US">EN-US">font-size:14.0pt;line-height:150%">Таким образом, наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет стратегия А2.

· Критерий Сэвиджа . Построим матрицу риска:

position:absolute; z-index:2;left:0px;margin-left:68px;margin-top:21px;width:213px;height:2px">

Лучшая стратегия А2.

· Критерий Гурвица. Пусть a =1 / 2.

			5/2+25/2=15
			7/2+23/2=15
			12/2+21/2=16,5
			15/2+30/2=22,5

Лучшие стратегии А1 и А2.

Если находить решение методами теории игр, то сначала ищем наличие седловой точки:

Эта игра имеет седловую точку и оптимальной будет стратегия А3.

5. Критерий Байеса

Если вероятности состояний природы – pj известны, то можно пользоваться критерием Байеса, согласно которому:

оптимальной считается чистая стратегия, соответствующая максимальному среднему выигрышу: , если – выигрыш и минимальным средним потерям: , если –потери.

Если в предыдущем примере известны вероятности спроса font-size:14.0pt;line-height: 150%">, то для нахождения оптимальной стратегии необходимо найти средние потери для каждой чистой стратегии предприятия и выбрать ту, которая обеспечивает минимум средних потерь: font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:Symbol">® стратегия А2.

Можно показать, что та стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш, обращает в минимум и средний риск.

Все рассмотренные критерии были сформулированы для чистых стратегий, но каждый из них может быть распространен и на смешанные стратегии, подобно тому, как это делается в теории игр. В теории статистических решений смешанные стратегии имеют смысл при многократном повторении игры.

Но многократно повторяя игру, можно определить частоты повторений той или иной ситуации и в дальнейшем применять стохастический подход к задаче принятия решений.

Если использовать смешанные стратегии, то критерий Вальда формулируется следующим образом: оптимальной будет смешанная стратегия , обеспечивающая , т. е. максимизирующая средний выигрыш (если –выигрыш)

Критерий Сэвиджа для смешанных стратегий : оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой максимальный средний риск статистика минимален, то есть стратегия , найденная из условия .

Оптимальные смешенные стратегии в этом случае находятся также, как в обычной матричной игре.

Многие из нас не любят попадать в ситуацию, когда информации о внешних факторах очень мало, или она напрочь отсутствует, и при этом нужно срочно сделать важный выбор. Скорее всего, именно поэтому большинство людей предпочитает избегать на работе ответственности и довольствуется скромным, но вместе с тем относительно спокойным служебным положением. Если бы они знали о теории игр и о том, какую пользу могут сослужить критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, карьера наиболее сообразительных из них наверняка бы стремительно пошла вверх.

Рассчитывай на худшее

Именно так можно охарактеризовать первый из перечисленных принципов. Критерий Вальда нередко называют еще критерием крайнего пессимизма или правилом минимального зла. В условиях и шаткого, неустойчивого положения вполне логичным представляется перестраховочная позиция, которая рассчитана на самый худший случай. Максиминный критерий Вальда ориентирует на максимизацию выигрыша при наиболее неблагоприятных обстоятельствах. Примером его использования может служить максимальное увеличение минимального дохода, максимизация минимальных объемов наличности и т. п. Такая стратегия оправдывает себя в тех случаях, когда человек, принимающий решения, не столько заинтересован в большой удаче, сколько хочет застраховать себя от внезапных потерь. Другими словами, критерий Вальда сводит риск к минимуму и позволяет принимать наиболее безопасные решения. Подобный подход дает возможность получить гарантированный минимум, хотя фактический итог может оказаться не таким уж и плохим.

Критерий Вальда: пример использования

Предположим, некое предприятие собирается выпускать новые виды товаров. При этом следует сделать выбор между одним из четырех вариантов В 1 , В 2 , В 3 , В 4 , каждый из которых предполагает определенный тип выпуска либо их сочетание. От принятия решения в конечном счете будет зависеть, какую предприятие получит прибыль. Как конкретно сложится рыночная конъюнктура в будущем, неизвестно, однако аналитики прогнозируют три основных сценария развития событий: С 1 , С 2 , С 3 . Полученные данные позволяют составить таблицу возможных вариантов выигрыша, которые соответствуют каждой паре возможного решения и вероятной обстановки.

Виды продукции	Сценарии рыночной конъюнктуры			Наихудший результат

Используя критерий Вальда, следует выбрать такую, которая будет для рассматриваемого предприятия наиболее оптимальной. В нашем случае показатель эффективности

Е = мах {25;22;15;20} = 25.

Его мы получили, выбрав по каждому из вариантов минимальный результат и вычленив среди них тот, который принесет наибольший доход. Это означает, что решение В 1 будет для фирмы, согласно данному критерию, самым оптимальным. Даже при самой неблагоприятной обстановке будет получен результат 25 (С 1), в то же время не исключено, что он достигнет 45 (С 3).

Отметим еще раз, что критерий Вальда ориентирует человека на максимально осторожную линию поведения. При других обстоятельствах вполне возможно руководствоваться иными соображениями. К примеру, вариант В 3 мог бы принести выигрыш в 90 при гарантированном результате в 15. Однако этот случай выходит за рамки темы данной статьи, и потому рассматривать его мы пока не будем.

Критерий принятия решений - это функция, выражающая преимущества лица, принимающего решение, и определяет правило, по которому выбирается приемлемый или оптимальный вариант решения.

Всякое решений в условиях неполной информации принимается в с учетом количественных характеристик ситуации, в которой принимаются решения.

Критерии можно использовать по очереди, причем после вычисления их значений среди нескольких вариантов приходится произвольным образом выделять некоторое окончательное решение. Что позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабить влияние субъективного фактора.

Критерий Вальда

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, поскольку статистик считает, что "природа" действует против него худшим образом. Это критерий гарантированного результата.

Пусть декабря задано матрицей выигрышей игрока А. Тогда по мнению статистика - игрока А, действия игрока "природа", который действует против него худшим образом, отображаются в реализации игроком "природа" таких своих состоянии Пj, при которых величина выигрыша игрока А (статистика) принимает наименьшее значение minaij. Исходя из этого статистик выбирает такую чистую стратегию Аi, при которой наименьший выигрыш minaij будет максимальным, то есть обеспечивать максимин: "

Величественная аβ, рассчитываемый по формуле (3.12), называется нижней ценой игры - это максимальный выигрыш, является гарантированным в игре с определенным противником путем выбора одной из своих стратегий при минимальных результатах.

Пусть декабря задано матрицей проигрышей игрока А, тогда худшие действия игрока "природа", будут реализовываться в таких состояниях Пj, при которых величина проигрыша игрока А (статистика) принимает наибольшее значение maxaij. Исходя из этого статистику необходимо выбрать такую чистую стратегию Аi, при которой наибольший проигрыш maxaij будет минимальным, то есть обеспечивать минимакс: "

Критерий Вальда обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимального проигрыша (потерь), который может возникнуть при реализации одной из стратегий. Этот критерий ориентирует ОПР соблюдать крайне осторожного поведения. Такое поведение приемлемая например, когда игрок не имеет заинтересованности в крупном выигрыше, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такого поведения определяется отношением игрока к риску. Критерий Вальда применяют в тех случаях, когда необходимо обеспечить успех в любой ситуации.

Пример 3.3. Для игры, которую задано матрицей выигрышей в примере 3.2, по критерию Вальда выбрать стратегию, которая является наиболее выгодной.

Разгрузка вязания. Запишем матрицу выигрышей в виде таблицы 3.2 и найдем наименьшее значение minaij для каждой строки.

Таблица 3.4. Матрица выигрышей игры

Это означает, что независимо от того какую стратегию будет применять игрок "природа", то есть который из состояний сложится на рынке, игрок А (статистик), при применении стратегии А3, то есть техники вида А3, получит гарантированный выигрыш не менее 3 единиц. При использовании игроком А любой другой стратегии, то есть выпуска другого вида техники, в случае худшего ситуации может быть получен выигрыш меньше чем 3 единицы.

Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:

о возможности появления внешних состояний Пj ничего не известно; приходится учитывать появление различных внешних состояний Пj; решение реализуется только один раз; необходимо исключить какой бы то ни было риск.

Критерий оптимизма

Критерий оптимизма, который называют критерием максимакс, используют когда лицо, принимающее решение ориентируется на наиболее благоприятные условия.

В случае, Когда в игре задано матрицей выигрышей по критерию оптимизма определяется вариант решения, который максимизирует максимальные выигрыши (например, доходы) для каждого варианта ситуации. Критерий оптимизма записывают в виде

В случае, Когда в игре задано матрицей проигрышей по критерию оптимизма определяется вариант решения, который минимизирует минимальные проигрыше (например, расходы) для каждого варианта ситуации.

Критерий оптимизма записывают в виде

Критерий оптимизма целесообразно применять в тех случаях, когда статистик имеет возможность влиять на выбор стратегий игроком "природа".

Пример 3.4. Для игры, которую задано матрицей выигрышей в примере 3.2, по критерию оптимизма выбрать стратегию, которая является наиболее выгодной.

Решение. Запишем матрицу выигрышей в виде таблицы 3.5 найдем наибольшее значение max aij ,. для каждой строки.

Это означает, что независимо от того какую стратегию будет применять игрок "природа", то есть который из состояний сложится на рынке, игрок А (статистик), при применении стратегии А3, то есть техники вида А3, получит гарантированный выигрыш 9 единиц. При

использовании игроком А любой другой стратегии, то есть выпуска другого вида техники, в случае худшего ситуации может быть получен выигрыш 9 единиц.

Следует отметить, что выводы, полученные по критерию Вальда и критерием оптимизма, совпадают, и предпочитают стратегии Ап.

Таблица 3.5

В ситуации неопределенности невозможно определить вероятности наступления тех или иных последствий принимаемых решений. Поэтому критерий математического ожидания, который широко используется в ситуации риска, и для которого обязательно нужны упомянутые вероятности, здесь неприменим. Вместо него используются иные критерии.

Для выбора оптимальной стратегии в ситуации неопределенности существует два основных критерия: максимин и минимакс. Максимин называют еще критерием пессимиста или критерием Вальда , а минимакс - критерием Сэвиджа.

Критерий Вальда (Уолда) – максиминный. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности – критерий крайнего пессимизма, который основывается на выборе "из худшего – лучшее". По сути, это критерий минимакса – основной в теории игр. Согласно этому критерию природа (среда) ведет себя как разумный агрессивный противник, делающий все, чтобы помешать нам достичь успеха. Оптимальной считается та стратегия, которая гарантирует выигрыш наибольший (max) из всех наихудших (min) возможных исходов действия по каждой стратегии – уровень безопасности:

Выбранная таким образом оптимальная по критерию Вальда стратегия называется максиминной, а величина W – максимином.

Критерий Сэвиджа – минимаксного риска . Критерий предполагает предварительное составление так называемой матрицы "рисков" (потерь, сожалений). В теории статистических решений риском rij при пользовании стратегией Qi в условиях Gj называется разность между выигрышем, который мог бы быть получен, если бы были известны условия Gj, и выигрышем, который будет получен, не зная их и выбирая стратегию Qi:

Минимакс ориентирован не столько на минимизацию потерь, сколько на минимизацию сожалений по поводу упущенной прибыли. Он допускает разумный риск ради получения дополнительной прибыли. Пользоваться этим критерием для выбора стратегии поведения в ситуации неопределенности можно лишь тогда, когда есть уверенность в том, что случайный убыток не приведет фирму к полному краху

Критерий произведений

Высокодоходные акции редко бывают достаточно надежными, а самые надежные высокодоходными. Поэтому при покупке акций всегда приходится выбирать между их доходностью и их надежностью и как-то увязывать их между собой. Такая проблема всегда встает при любом инвестиционном проекте. Если известны вероятности сохранения или потери инвестиций, то эта проблема решается с помощью критерия математического ожидания. Если их нет, приходится обращаться к другими критериям. Одним из таких критериев является критерий произведений. Он позволяет выбрать такой проект, который бы был наиболее доходным и в то же время наименее рискованным. Критерий произведений рассчитывается по формуле:

Критерий произведений способен работать на минимуме информации.

Пример решения задачи

Предположим, что в условиях колебания спроса G j = {3000, 6000, 9000,12000} у торгового предприятия существуют три стратегии сбыта какого-либо товара: Q п (1) = 6000 шт; Q п (2) = 9000 шт; Q п (3) = 12000 шт. по цене реализации C р = 70 руб. при цене покупки C п = 30 руб. и средних издержках И = 10руб./шт.

В соответствии с ресурсными возможностями торгового предприятия рассчитаем варианты среднегодовой прибыли по формуле (1), а результаты сведем в таблице 3.

Таблица 3 - Матрица выигрышей (прибылей) коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

1. Критерий Вальда. Для определения оптимальной стратегии по критерию наибольшей осторожности дополним табл. 3 столбцом 6 справа, укажем для каждой строки минимум прибыли и выберем ту стратегию, при которой минимум строки максимален (см. табл. 4).

Таблица 4 - Сводная матрица прибылей

2. Критерий Гурвица. Пусть показатель пессимизма λ определен λ = 0,4.

Для вычисления значений стратегий по критерию взвешенной (разумной) осторожности в дополнительном столбце 7 табл. 4 найдем максимальные значения для каждой строки. Тогда:

Максимальное значение соответствует двум стратегиям закупки Q п (1) и Q п (2) .

3. Критерий Лапласа. Исходя из принципа равновероятности состояний природы найдем средние значения "выигрышей"– прибылей для каждой стратегии:

По критерию усреднения выигрышей Лапласа наилучшей является стратегия закупки Q п (2)

4. Критерий Байеса-Лапласа. Для определения оптимальной стратегии по критерию средневзвешенной оценки выигрышей необходимо знать распределение вероятностей спроса. Пусть из прошлого опыта или экспертным путем такие вероятности определены (нижняя строка в табл. 4).

Тогда оценки по критерию для каждой стратегии составят:

Максимальное значение соответствует стратегии Q п (2) .

Таблица 5 - Матрица рисков коммерческих стратегий

5. Критерий Сэвиджа. Перейдем от матрицы выигрышей к матрице рисков (табл. 5). Для этого предварительно укажем в дополнительной строке таблицы максимально возможные выигрыши по каждому состоянию природы (предпоследняя строка) и затем рассчитаем соответствующие риски r i j = max П i j – П i j

для заполнения матрицы рисков (табл. 5). Исходя из принципа наибольшей осторожности, находим максимальные значения рисков по строкам и из них выбираем стратегии Q п (1) и Q п (2) с минимальным значением максимально возможного риска. Перенесем полученные значения в табл. 4 для подведения итогов выбора.

Итак, конкурирующими оказались стратегии Q п (1) и Q п (2) (выбор стратегии Q п (3) по критерию Гурвица вызван, скорее всего, излишним оптимизмом при выборе показателя λ). Стратегия Q п (1) выбрана по критериям Вальда, Лапласа и Сэвиджа, стратегия Q п (2) – по критериям Лапласа, Байеса-Лапласа и Сэвиджа.

Предпочтение той или иной стратегии выбирается лучшей по большинству критериев. Но в нашем случае две стратегии Q п (1) и Q п (2) равнозначны в этом смысле.

Задача по вариантами:

Таблица 6 - Матрица прибылей коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Критерий Сэвиджа один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения… … Википедия

Критерий согласия Колмогорова - или Критерий согласия Колмогорова Смирнова статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… … Википедия

Вальда критерий - , другое написание критерий Уолда см. Максимин … Экономико-математический словарь

Критерий согласия Пирсона - Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи квадрат) наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая… … Википедия

Критерий Краскела - Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона Манна Уитни. Критерий Краскела Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому… … Википедия

Критерий Кохрена - Критерий Кохрена используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма. Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости, если: где квантиль случайной величины при числе суммируемых… … Википедия

Критерий Лиллиефорса - статистический критерий, названный по имени Хьюберта Лиллиефорса, профессора статистики Университета Джорджа Вашингтона, являющийся модификацией критерия Колмогорова–Смирнова. Используется для проверки нулевой гипотезы о том, что выборка… … Википедия

Критерий Уилкоксона - Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Т Крит … Википедия

Последовательный статистический критерий - Последовательный статистический критерий последовательная статистическая процедура, используемая для проверки статистических гипотез в последовательном анализе. Пусть наблюдению в статистическом эксперименте доступна случайная величина с… … Википедия

Тест Вальда - (англ. Wald test) статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оцененных на основе выборочных данных. Является одним из трех базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом… … Википедия

Книги

• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к… Купить за 443 руб
• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.А.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…