Способы перемножения эпюр. Определение перемещений с помощью способа верещагина. Построение эпюры изгибающих моментов

Определение перемещений в системах, состоящих из прямолинейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения специального приема вычисления

интеграла вида

В связи с тем что в подынтегральное выражение входит произведение усилий Мт и Мп, являющихся ординатами эпюр, построенных для единичного и действительного состояний, этот прием называют способом перемножения эпюр. Его можно использовать в -случае, когда одна из перемножаемых эпюр, например Мт, прямолинейна; в этом случае (рис. 5.17)

Мm = (х + a) tg а.

Вторая эпюра М п может иметь любое очертание (прямолинейное, ломаное

или криволинейное).

Подставим значение М m в выражение

где М п dx= dΩ n - дифференциал площади Ω n эпюры М n (рис. 5.17),

Интеграл представляет собой статический момент площади Ω n эпюры М п относительно оси 0-0" (рис. 5.17). Этот статический момент можно выразить иначе:

где хс-абсцисса центра тяжести площади эпюры Мn. Тогда

Но так как (см. рис. 5.17)

(5.26)

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади одной из них на ординату ус другой (прямолинейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры.

Способ перемножения эпюр предложен в 1925 г. студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А. К. Верещагиным, а потому он называется правилом (или способом) Верещагина,

Заметим, что левая часть выражения (5.26) отличается от интеграла Мора отсутствием в ней жесткости сечения EJ. Следовательно, результат выполнения по правилу Верещагина перемножения эпюр для определения искомого перемещения надо разделить на жесткость.

Очень важно отметить, что ордината ус должна быть взята обязательно из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолинейные эпюры Mi а Мк (рис. 518, а), то не имеет значения, что взять: произведение yk площади эпюры Mi на ординату yk под ее центром тяжести из эпюры Мк или произведение Ω_k yi площади эпюры М k на ординату уi под (или над) ее центром тяжести из эпюры Мг.

Когда перемножаются две эпюры, имеющие вид трапеции, то не надо находить положение центра тяжести площади одной из них. Следует одну из эпюр разбить на два треугольника и умножить площадь каждого из них на ординату под его центром тяжести из другой эпюры. Например, в случае, приведенном на рис. 518, б, получим

В круглых скобках этой формулы произведение ас левых ординат обеих эпюр и произведение bd правых ординат берутся с коэффициентом, равным двум» а произведения ad и bc ординат, расположенных с разных сторон,- с коэффициентом, равным единице.

С помощью формулы (5.27) можно перемножать эпюры, имеющие вид «перекрученных» трапеций; при этом произведения ординат, имеющих одинаковые знаки, берутся со знаком плюс, а разные - -минус. В случае, например, показанном на рис. 5.18,в, результат перемножения эпюр в виде «перекрученной» и обычной трапеций равен (l/6) (2ac-2bd+ad-bc), а в случае, показанном на рис. 5.18, г, равен (l/6) (-2ac-2bd+ad+bc).

Формула (5.27) применима и тогда, когда одна или обе перемножаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треугольник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю. Результат, например, перемножения эпюр, показанных на рис. 5.18, д, равен (l/6) (2ac+ad).

Умножение эпюры в виде «перекрученной» трапеции на любую другую эпюру можно производить и расчленяя «перекрученную» трапецию на два треугольника, как показано на рис. 5.18, е.

Лекция № 6. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем: балок, рам, ферм.

План лекции:

1. Метод сил.

1.1. Основная система. Основные неизвестные.

1.2. Система канонических уравнений метода сил для расчета на действие внешней нагрузки.

1.3. Расчет статически неопределимых систем методом сил.

2. Метод перемещений.

2.1. Выбор неизвестных и определение их числа.

2.2. Определение числа неизвестных

2.3. Основная система

2.4. Канонические уравнения

3. Основы расчета систем методом конечных элементов.

Для балок и стержневых систем, состоящих из прямых стержней, внутренние усилия единичных состояний N k , M k и Q k являются линейными функциями или на всем протяжении каждого стержня, или на его отдельных участках. Внутренние усилия грузового состояния Np, М Р и Q P могут иметь произвольные законы изменения по длине стержней. Если балки и стержни имеют при этом постоянные или ступенчато-постоянные жесткости EF, EJ и GF, то вычисление интегралов в формуле Мора может быть произведено с помощью эпюр внутренних усилий.

Рассмотрим, например, эпюры изгибающих моментов М Р и М к в прямом стержне постоянной жесткости (рис. 8.31). Грузовая эпюра М Р является произвольной, а единичная эпюра М к - линейной. Начало отсчета координат поместим в точке пересечения линии эпюры М к с осью Ох. При этом изгибающий момент М к изменяется по закону М к = xtga. Вынося постоянную величину tga/ЕУв формуле (8.22) из-под знака интеграла и производя интегрирование по длине стержня, получим

Величина M P dx = dQ. P является элементом площади грузовой эпюры М р. При этом сам интеграл можно рассматривать как статический момент площади эпюры М Р относительно оси Оу, который равен

где Q. p - площадь эпюры х с - абсцисса ее центра тяжести. Учитывая, что x c tga = у с, получаем окончательный результат:

где у с - ордината в линейной эпюре М к под центром тяжести площади криволинейной эпюры М р (рис. 8.31).

Способ вычисления интегралов в формуле Мора с помощью формулы (8.23) называется правилом Верещагина или правилом «перемножения» эпюр. Согласно формуле (8.23) результат «перемножения» двух эпюр равен произведению площади нелинейной эпюры на ординату под ее центром тяжести в линейной эпюре. Если обе эпюры на рассматриваемом участке являются линейными, то при «перемножении» можно брать площадь любой из них. Результат «перемножения» однозначных эпюр является положительным, а разнозначных - отрицательным.

Результат «перемножения» двух трапеций (рис. 8.32) можно представить в виде следующей формулы:

При использовании правила Верещагина сложные эпюры надо разбить на простые фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести. Чаще всего элементами разбиения являются треугольники и квадратные параболы (в случае действия равномерно распределенных нагрузок). Примеры разбиения эпюр приведены на рис. 8.33.

Однозначные или разнозначные трапеции можно разбить на два треугольника (рис. 8.33, а). Квадратная парабола с ординатами а и b в начале и конце участка разбивается на два однозначных или разнозначных треугольника и квадратную параболу с нулевыми начальным и конечным значениями (рис. 8.33, б). Ее площадь определяется по формуле

где q - интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

Правило Верещагина нельзя применять в случае, когда обе эпюры являются нелинейными (например, для стержней с криволинейной осью), а также для стержней с переменной жесткостью EJ. В этом случае при определении перемещений методом Мора производится аналитическое или численное вычисление интегралов в формуле (8.20).

Пример 8.7. Для консольной балки постоянной жесткости EJ= const (рис. 8.34, а ) определим прогиб в сечении В и угол поворота сечения С.

Построим эпюру изгибающих моментов М Р от действия заданных нагрузок (рис. 8.34, б). Для определения искомых перемещений приложим в сечении В единичную силу Р = 1, в сечении С - единичный момент М = 1 и построим единичные эпюры М, и М 2 (рис. 8.34, в, г). Грузовую эпюру М р на втором участке разобьем на треугольник и квадратную параболу.

«Перемножим» грузовую и единичные эпюры между собой с помощью правила Верещагина. При «перемножении» эпюр М р и М х на первом участве используем формулу (8.24). В результате вычислений получим:

Направления перемещений совпадают с направлениями действия единичных нагрузок. Прогиб балки в сечении В происходит вниз, а сечение С поворачивается по ходу часовой стрелки.

Пример 8.8. Для шарнирно опертой балки постоянной жесткости (рис. 8.35, а) определим прогиб в сечении Си угол поворота сечения В.

Грузовая эпюра М р приведена на рис. 8.35, б. Приложим в сечении С единичную силу, в сечении В - единичный момент и построим единичные эпюры М х и М 2 (рис. 8.35, в, г). «Перемножив» грузовую эпюру М р с единичными эпюрами, найдем искомые перемещения:

При «перемножении» эпюр на втором участке использована формула (8.24). Сечение В

Пример 8.9. Для шарнирно опертой балки с консолью постоянной жесткости (рис. 8.36, а) определим прогиб в сечении С и угол поворота сечения D.

Определим опорные реакции от действия заданных нагрузок:

Построим грузовую эпюру М р (рис. 8.36, б). Соответствующие единичные эпюры приведены jHa рис. 8.36, в , г. «Перемножая» эпюру М Р с эпюрами М х и М 2 , найдем искомые перемещения:

Сечение С перемещается вверх, сечение D поворачивается против хода часовой стрелки.

Пример 8.10. Для балки ступенчато-постоянной жесткости с промежуточным шарниром (рис. 8.37, а) определим взаимный угол поворота и прогиб в сечении В.

Разобьем балку на несущую и несомую части (рис. 8.37, б) и определим опорные реакции для балки ЛВ

Грузовая эпюра М р и соответствующие единичные эпюры приведены на рис. 8.37, в , г, д. Отметим, что для определения взаимного угла поворота сечений в промежуточном шарнире приложен парный единичный момент (слева и справа от шарнира).

«Перемножая» эпюру М Р с единичными эпюрами и учитывая ступенчатое изменение жесткости на участках АВ и ВС, найдем:

Пример 8.11. Для консольной рамы со стержнями различной жесткости (рис. 8.38, я) определим вертикальное и горизонтальное перемещения точки С и угол поворота сечения В.

Эпюра МрОТ внешней нагрузки показана на рис. 8.38, б. Влияние продольных и поперечных сил при определении перемещений не учитываем.

Эпюры М х, М 2 и М 3 от единичных сил и момента, приложенных в сечениях С и В, показаны на рис. 8.38, в, г, д. «Перемножая» грузовую эпюру М р с единичными эпюрами в пределах длины каждого стержня, определим искомые перемещения:

Поворот сечения В происходит против хода часовой стрелки. Горизонтальное перемещение точки С равно нулю.

Пример 8.12. Для шарнирно опертой рамы со стержнями различной жесткости (рис. 8.39, а) определим вертикальное перемещение точки С и горизонтальное перемещение точки В.

Определим опорные реакции:

Грузовая и соответствующие единичные эпюры приведены на рис. 8.39, б, в, г. «Перемножив» эпюры в пределах длины каждого стержня, найдем:

В заключение приведем значения прогибов и углов поворота для консольных и шарнирно опертых балок при простых нагрузках.

Очевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрических схем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии, перемножаемым эпюрам. Для реализации правила Верещагина нужно знать площади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис.29 представлены некоторые основные варианты, возникающие в практических расчетах.

Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать на простейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции, нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножить площадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную под соответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогично поступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейную эпюру.

Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим для таких сложных случаев формулы, удобные для использования в практических расчетах (рис.30). Так, результат перемножения двух трапеций (рис.30,а):

Рис. 29

По формуле (2.21) можно перемножить и эпюры, имеющих вид "перекрученных" трапеций (рис.30,б), но при этом произведение ординат, расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.

Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (что соответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то для перемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают как сумму (рис.30,в) или разность (рис.30,г) трапециидальной и параболической эпюр. Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой:

(2.22)

но значение f при этом определяется по-разному (рис. 30, в, г).

Рис. 30

Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямыми линиями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают на участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра являетя прямолинейной.

Рассмотрим использование правила Верещагина на конкретных примерах.

Пример 15. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.31,а), способом Верещагина.

Последовательность расчета способом Верещагина – такая же, как и в методе Мора, поэтому рассмотрим три состояния балки: грузовое – при действии распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра M q (рис.31,б), и два единичных состояния - при действии силы
приложенной в точке С (эпюра
, рис.31,в), и момента
, приложенного в точке В (эпюра
, рис.31,г).

Прогиб балки в середине пролета:

Аналогичный результат был получен ранее методом Мора (см. пример 13). Следует обратить внимание на тот факт, что перемножение эпюр выполнялось для половины балки, а затем, в силу симметрии, результат удваивался. Если же площадь всей эпюры M q умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры
(
на рис.31,в), то величина перемещения будет совершенно иной и неправильной так как эпюра
ограничена ломаной линией. На недопустимость такого подхода уже указывалось выше.

А при вычислении угла поворота сечения в точке В можно площадь эпюры M q умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры
(
, рис.31,г), так как эпюра
ограничена прямой линией:

Этот результат также совпадает с результатом, полученным ранее методом Мора (см. пример 13).

Рис. 31

Пример 16. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки А в раме (рис.32,а).

Как и в предыдущем примере, для решения задачи необходимо рассмотреть три состояния рамы: грузовое и два единичных. Эпюра моментов M F , соответствующая первому состоянию, представлена на рис.32,б. Для вычисления горизонтального перемещения прикладываем в точке А по направлению искомого перемещения (т.е. горизонтально) силу
, а для вычисления вертикального перемещения силу
прикладываем вертикально (рис.32,в,д). Соответствующие эпюры
и
показаны на рис.32,г,е.

Горизонтальное перемещение точки А:

При вычислении
на участке АВ трапеция (эпюра M F) разбита на треугольник и прямоугольник, после чего треугольник с эпюры
"умножен" на каждую из этих фигур. На участке ВС криволинейная трапеция разделена на криволинейный треугольник и прямоугольник, а для перемножения эпюр на участке СД использована формула (2.21).

Знак " - ", полученный при вычислении
, означает, что точка А перемещается по горизонтали не влево (в этом направлении приложена сила
), а вправо.

Здесь знак " - " означает, что точка А перемещается вниз, а не вверх.

Отметим, что единичные эпюры моментов, построенные от силы
, имеют размерность длины, а единичные эпюры моментов построенные от момента
, являются безразмерными.

Пример 17. Определить вертикальное перемещение точки А плоско-пространственной системы (рис.33,а).

Рис.23

Как известно (см. гл.1), в поперечных сечениях стержней плоско-пространственной системы возникают три внутренних силовых фактора: поперечная сила Q y , изгибающий момент M x и крутящий момент M кр. Так как влияние поперечной силы на величину перемещения незначительно (см. пример 14, рис.27), то при вычислении перемещения методом Мора и Верещагина из шести слагаемых остаются только два.

Для решения задачи построим эпюры изгибающих моментов M x,q и крутящих моментов М кр,q от внешней нагрузки (рис.33,б), а затем в точке А приложим силу
по направлению искомого перемещения, т.е. вертикального (рис.33,в), и построим единичные эпюры изгибающих моментов
и крутящих моментов
(рис.33,г). Стрелками на эпюрах крутящих моментов показаны направления закручивания соответствующих участков плоско-пространственной системы.

Вертикальное перемещение точки А:

При перемножении эпюр крутящих моментов произведение берется со знаком "+", если стрелки, указывающие направление кручения, сонаправленны, и со знаком " - " – в противном случае.

Кроме рассмотренного выше аналитического метода определения перемещения балки, существуют другие аналитические и графоаналитические методы, применимые для более сложных систем, например, конструкций с ломаной осью и статически неопределимых систем.

Один из таких методов основан на интеграле Мора и правиле Верещагина. Сущность метода заключается в приложении в направлении интересующего нас перемещения единичной нагрузки (силы или момента силы) и вычислении интеграла Мора. Выражение для интеграла Мора выводится на основе теоремы Кастильяно, которая формулируется здесь без доказательства.

Теорема Кастильяно. Производная потенциальной энергии деформации по обобщенной силе рана обобщенному перемещению.

Потенциальная энергия деформации изогнутой балки выражается формулой

На основании теоремы Кастильяно обобщенное (линейное или угловое) перемещение Д определяется, как

Если обобщенную силу Q 06 приравнять к единице, то частная производная будет численно равна моменту М° единичной нагрузки

в сечении г балки (частные производные моментов других сил равны нулю, так как эти моменты от единичной нагрузки не зависят). В результате получается формула, называемая интегралом Мора.

Для отдельного участка конструкции интеграл Мора записывается в виде

где Д - обобщенное (линейное или угловое) перемещение; / - длина участка; М - уравнение моментов внешних сил; М° - уравнение моментов единичной нагрузки; ?7 - жесткость участка конструкции.

Для определения линейного перемещения к участку прикладывается единичная безразмерная сила, а для определения углового перемещения - единичный безразмерный момент. Для конструкции с постоянной жесткостью ее можно вынести за знак интеграла, тогда

В качестве примера вычислим интеграл Мора для балки, показанной на рис. 6.27

Рис. 6.27

Так как функции изгибающих моментов графически выражаются эпюрами моментов, то представляется возможным выразить интеграл Мора через площади и ординаты эпюр по правилу Верещагина , иначе называемому методом перемножения эпюр. Это правило формулируется так: искомый интеграл равен произведению площади грузовой эпюры М на расположенную под ее центром тяжести ординату единичной эпюры. Грузовой названа эпюра изгибающих моментов внешних сил.

Площади и ординаты эпюр берутся со знаками плюс или минус, а положительный результат означает, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичной нагрузки. Если рассматриваемая конструкция имеет несколько участков, то расчеты проводятся для каждого участка в отдельности, а результат суммируется.

В качестве примера определим по правилу Верещагина линейное перемещение и угол поворота концевого сечения балки, изображенной на рис. 6.24.

Для определения линейного перемещения свободного конца балки приложим к ее концу вертикальную единичную силу и рассмотрим грузовую эпюру и эпюру моментов единичной силы. Тогда

что совпадает с выражением для у в, полученным в Примере 6.8.

Для определения угла поворота концевого сечения балки приложим к ее концу единичный момент и построим эпюру. Тогда

Положительные ответы означают, что направления единичных нагрузок и перемещений совпадают. Тот же результат мы получим, если перемножим площадь единичной эпюры на ординату грузовой эпюры, расположенную над центром тяжести площади единичной эпюры.

Для раскрытия статической неопределимости системы следует отбросить одну из опор, заменить ее реакциями, приложить единичную нагрузку, а затем построить грузовую и единичную эпюры. Перемножив эпюры по правилу Верещагина и приравняв полученное перемещение к нулю, получим дополнительное уравнение, необходимое для раскрытия статической неопределимости системы.

Пример 6.11

Раскрыть статическую неопределимость двухопорной рамы квадратной формы со стороной /, показанной на рис. 6.28, а.

Решение. Отбросим опоры, заменив их реакциями Х ь Y u Х 2 , Y 2 . Составив уравнение моментов относительно опор и решая их, получим Y 2 -P , Y x = -Р . Уравнение проекции на горизонтальную ось Р-Х х +Х 2 = 0 имеет два неизвестных. Приложим к правому концу рамы единичную силу, как показано на рис. 6.28, д и построим эпюру единичных моментов. На рис. 6.28, виг построены грузовые эпюры изгибающих моментов. Перемножив по правилу