Скачать 10 примеры с решением гаусса. Обратный ход метода Гаусса. Описание алгоритма метода Гаусса

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить."

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Представление чисел:

Целые числа и (или) Обыкновенные дроби
Целые числа и (или) Десятичные дроби

Число знаков после десятичного разделителя

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

• перемена местами двух уравнений в системе,
• умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
• прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b

(2)

(3)

A -называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x − вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A )=p .

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента . Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a 22 . Для этого сложим строки 3, ... m со строкой 2, умноженной на −a 32 /a 22 , ..., −a m2 /a 22 , соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

(7)

Так как rangA=rang (A|b ), то множество решений (7) есть (n−p )− многообразие. Следовательно n−p неизвестных можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем x p через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем x p−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Обозначим через a ij элементы i -ой строки и j -ого столбца.

a 1 1 . Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Матричный вид записи: Ax=b , где

Обозначим через a ij элементы i -ой строки и j -ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a 11 . Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

где x 3 , x

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Тогда векторное решение можно представить так:

где x 3 , x 4 − произвольные действительные числа.

В данной статье метод рассматривается как способ решения систем линейных уравнений (СЛАУ). Метод является аналитическим, то есть позволяет написать алгоритм решения в общем виде, а потом уже подставлять туда значения из конкретных примеров. В отличие от матричного метода или формул Крамера, при решении системы линейных уравнений методом Гаусса можно работать и с теми, что имеют решений бесконечно много. Или не имеют его вовсе.

Что значит решить методом Гаусса?

Для начала необходимо нашу систему уравнений записать в Выглядит это следующим образом. Берется система:

Коэффициенты записываются в виде таблицы, а справа отдельным столбиком - свободные члены. Столбец со свободными членами отделяется для удобства Матрица, включающая в себя этот столбец, называется расширенной.

Далее основную матрицу с коэффициентами нужно привести к верхней треугольной форме. Это основной момент решения системы методом Гаусса. Проще говоря, после определенных манипуляций матрица должна выглядеть так, чтобы в ее левой нижней части стояли одни нули:

Тогда, если записать новую матрицу опять как систему уравнений, можно заметить, что в последней строке уже содержится значение одного из корней, которое затем подставляется в уравнение выше, находится еще один корень, и так далее.

Это описание решения методом Гаусса в самых общих чертах. А что получится, если вдруг у системы нет решения? Или их бесконечно много? Чтобы ответить на эти и еще множество вопросов, необходимо рассмотреть отдельно все элементы, использующиеся при решении методом Гаусса.

Матрицы, их свойства

Никакого скрытого смысла в матрице нет. Это просто удобный способ записи данных для последующих операций с ними. Бояться их не надо даже школьникам.

Матрица всегда прямоугольная, потому что так удобнее. Даже в методе Гаусса, где все сводится к построению матрицы треугольного вида, в записи фигурирует прямоугольник, только с нулями на том месте, где нет чисел. Нули можно не записывать, но они подразумеваются.

Матрица имеет размер. Ее "ширина" - число строк (m), "длина" - число столбцов (n). Тогда размер матрицы A (для их обозначения обычно используются заглавные латинские буквы) будет обозначаться как A m×n . Если m=n, то эта матрица квадратная, и m=n - ее порядок. Соответственно, любой элемент матрицы A можно обозначить через номер его строки и столбца: a xy ; x - номер строки, изменяется , y - номер столбца, изменяется .

В - это не основной момент решения. В принципе, все операции можно выполнять непосредственно с самими уравнениями, однако запись получится куда более громоздкая, и в ней будет гораздо легче запутаться.

Определитель

Еще у матрицы есть определитель. Это очень важная характеристика. Выяснять его смысл сейчас не стоит, можно просто показать, как он вычисляется, а потом рассказать, какие свойства матрицы он определяет. Наиболее простой способ нахождения определителя - через диагонали. В матрице проводятся воображаемые диагонали; элементы, находящиеся на каждой из них, перемножаются, а затем полученные произведения складываются: диагонали с наклоном вправо - со знаком "плюс", с наклоном влево - со знаком "минус".

Крайне важно отметить, что вычислять определитель можно только у квадратной матрицы. Для прямоугольной матрицы можно сделать следующее: из количества строк и количества столбцов выбрать наименьшее (пусть это будет k), а затем в матрице произвольным образом отметить k столбцов и k строк. Элементы, находящиеся на пересечении выбранных столбцов и строк, составят новую квадратную матрицу. Если определитель такой матрицы будет числом, отличным от нуля, то назовется базисным минором первоначальной прямоугольной матрицы.

Перед тем как приступить к решению системы уравнений методом Гаусса, не мешает посчитать определитель. Если он окажется нулевым, то сразу можно говорить, что у матрицы количество решений либо бесконечно, либо их вообще нет. В таком печальном случае надо идти дальше и узнавать про ранг матрицы.

Классификация систем

Существует такое понятие, как ранг матрицы. Это максимальный порядок ее определителя, отличного от нуля (если вспомнить про базисный минор, можно сказать, что ранг матрицы - порядок базисного минора).

По тому, как обстоят дела с рангом, СЛАУ можно разделить на:

• Совместные. У совместных систем ранг основной матрицы (состоящей только из коэффициентов) совпадает с рангом расширенной (со столбцом свободных членов). Такие системы имеют решение, но необязательно одно, поэтому дополнительно совместные системы делят на:
• - определенные - имеющие единственное решение. В определенных системах равны ранг матрицы и количество неизвестных (или число столбцов, что есть одно и то же);
• - неопределенные - с бесконечным количеством решений. Ранг матриц у таких систем меньше количества неизвестных.
• Несовместные. У таких систем ранги основной и расширенной матриц не совпадают. Несовместные системы решения не имеют.

Метод Гаусса хорош тем, что позволяет в ходе решения получить либо однозначное доказательство несовместности системы (без вычисления определителей больших матриц), либо решение в общем виде для системы с бесконечным числом решений.

Элементарные преобразования

До того как приступить непосредственно к решению системы, можно сделать ее менее громоздкой и более удобной для вычислений. Это достигается за счет элементарных преобразований - таких, что их выполнение никак не меняет конечный ответ. Следует отметить, что некоторые из приведенных элементарных преобразований действительны только для матриц, исходниками которых послужили именно СЛАУ. Вот список этих преобразований:

1. Перестановка строк. Очевидно, что если в записи системы поменять порядок уравнений, то на решение это никак не повлияет. Следовательно, в матрице этой системы также можно менять местами строки, не забывая, конечно, про столбец свободных членов.
2. Умножение всех элементов строки на некоторый коэффициент. Очень полезно! С помощью него можно сократить большие числа в матрице или убрать нули. Множество решений, как обычно, не изменится, а выполнять дальнейшие операции станет удобнее. Главное, чтобы коэффициент не был равен нулю.
3. Удаление строк с пропорциональными коэффициентами. Это отчасти следует из предыдущего пункта. Если две или более строки в матрице имеют пропорциональные коэффициенты, то при умножении/делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получаются две (или, опять же, более) абсолютно одинаковые строки, и можно убрать лишние, оставив только одну.
4. Удаление нулевой строки. Если в ходе преобразований где-то получилась строка, в которой все элементы, включая свободный член, - ноль, то такую строку можно назвать нулевой и выкинуть из матрицы.
5. Прибавление к элементам одной строки элементов другой (по соответствующим столбцам), умноженных на некоторый коэффициент. Самое неочевидное и самое важное преобразование из всех. На нем стоит остановиться поподробнее.

Прибавление строки, умноженной на коэффициент

Для простоты понимания стоит разобрать этот процесс по шагам. Берутся две строки из матрицы:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Допустим, необходимо ко второй прибавить первую, умноженную на коэффициент "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Затем в матрице вторая строка заменяется на новую, а первая остается без изменений.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Необходимо заметить, что коэффициент умножения можно подобрать таким образом, чтобы в результате сложения двух строк один из элементов новой строки был равен нулю. Следовательно, можно получить уравнение в системе, где на одну неизвестную будет меньше. А если получить два таких уравнения, то операцию можно проделать еще раз и получить уравнение, которое будет содержать уже на две неизвестных меньше. А если каждый раз превращать в ноль один коэффициент у всех строк, что стоят ниже исходной, то можно, как по ступенькам, спуститься до самого низа матрицы и получить уравнение с одной неизвестной. Это и называется решить систему методом Гаусса.

В общем виде

Пусть существует система. Она имеет m уравнений и n корней-неизвестных. Записать ее можно следующим образом:

Из коэффициентов системы составляется основная матрица. В расширенную матрицу добавляется столбец свободных членов и для удобства отделяется чертой.

• первая строка матрицы умножается на коэффициент k = (-a 21 /a 11);
• первая измененная строка и вторая строка матрицы складываются;
• вместо второй строки в матрицу вставляется результат сложения из предыдущего пункта;
• теперь первый коэффициент в новой второй строке равен a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Теперь выполняется та же серия преобразований, только участвуют первая и третья строки. Соответственно, в каждом шаге алгоритма элемент a 21 заменяется на a 31 . Потом все повторяется для a 41 , ... a m1 . В итоге получается матрица, где в строках первый элемент равен нулю. Теперь нужно забыть о строке номер один и выполнить тот же алгоритм, начиная со второй строки:

• коэффициент k = (-a 32 /a 22);
• с "текущей" строкой складывается вторая измененная строка;
• результат сложения подставляется в третью, четвертую и так далее строки, а первая и вторая остаются неизменными;
• в строках матрицы уже два первых элемента равны нулю.

Алгоритм надо повторять, пока не появится коэффициент k = (-a m,m-1 /a mm). Это значит, что в последний раз алгоритм выполнялся только для нижнего уравнения. Теперь матрица похожа на треугольник, или имеет ступенчатую форму. В нижней строчке имеется равенство a mn × x n = b m . Коэффициент и свободный член известны, и корень выражается через них: x n = b m /a mn . Полученный корень подставляется в верхнюю строку, чтобы найти x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . И так далее по аналогии: в каждой следующей строке находится новый корень, и, добравшись до "верха" системы, можно отыскать множество решений . Оно будет единственным.

Когда нет решений

Если в одной из матричных строк все элементы, кроме свободного члена, равны нулю, то уравнение, соответствующее этой строке, выглядит как 0 = b. Оно не имеет решения. И поскольку такое уравнение заключено в систему, то и множество решений всей системы - пустое, то есть она является вырожденной.

Когда решений бесконечное количество

Может получиться так, что в приведенной треугольной матрице нет строк с одним элементом-коэффициентом уравнения, и одним - свободным членом. Есть только такие строки, которые при переписывании имели бы вид уравнения с двумя или более переменными. Значит, у системы имеется бесконечное число решений. В таком случае ответ можно дать в виде общего решения. Как это сделать?

Все переменные в матрице делятся на базисные и свободные. Базисные - это те, которые стоят "с краю" строк в ступенчатой матрице. Остальные - свободные. В общем решении базисные переменные записываются через свободные.

Для удобства матрица сначала переписывается обратно в систему уравнений. Потом в последнем из них, там, где точно осталась только одна базисная переменная, она остается с одной стороны, а все остальное переносится в другую. Так делается для каждого уравнения с одной базисной переменной. Потом в остальные уравнения, там, где это возможно, вместо базисной переменной подставляется полученное для нее выражение. Если в результате опять появилось выражение, содержащее только одну базисную переменную, она оттуда опять выражается, и так далее, пока каждая базисная переменная не будет записана в виде выражения со свободными переменными. Это и есть общее решение СЛАУ.

Можно также найти базисное решение системы - дать свободным переменным любые значения, а потом для этого конкретного случая посчитать значения базисных переменных. Частных решений можно привести бесконечно много.

Решение на конкретных примерах

Вот система уравнений.

Для удобства лучше сразу составить ее матрицу

Известно, что при решении методом Гаусса уравнение, соответствующее первой строке, в конце преобразований останется неизменным. Поэтому выгодней будет, если левый верхний элемент матрицы будет наименьшим - тогда первые элементы остальных строк после операций обратятся в ноль. Значит, в составленной матрице выгодно будет на место первой строки поставить вторую.

вторая строка: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третья строка: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Теперь, чтобы не запутаться, необходимо записать матрицу с промежуточными результатами преобразований.

Очевидно, что такую матрицу можно сделать более удобной для восприятия с помощью некоторых операций. Например, из второй строки можно убрать все "минусы", умножая каждый элемент на "-1".

Стоит также заметить, что в третьей строке все элементы кратны трем. Тогда можно сократить строку на это число, умножая каждый элемент на "-1/3" (минус - заодно, чтобы убрать отрицательные значения).

Выглядит гораздо приятнее. Теперь надо оставить в покое первую строку и поработать со второй и третьей. Задача - прибавить к третьей строке вторую, умноженную на такой коэффициент, чтобы элемент a 32 стал равен нулю.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (если в ходе некоторых преобразований в ответе получилось не целое число, рекомендуется для соблюдения точности вычислений оставить его "как есть", в виде обыкновенной дроби, а уже потом, когда получены ответы, решать, стоит ли округлять и переводить в другую форму записи)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Снова записывается матрица с новыми значениями.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Как видно, полученная матрица уже имеет ступенчатый вид. Поэтому дальнейшие преобразования системы по методу Гаусса не требуются. Что здесь можно сделать, так это убрать из третьей строки общий коэффициент "-1/7".

Теперь все красиво. Дело за малым - записать матрицу опять в виде системы уравнений и вычислить корни

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Тот алгоритм, по которому сейчас будут находиться корни, называется обратным ходом в методе Гаусса. В уравнении (3) содержится значение z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И первое уравнение позволяет найти x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Такую систему мы имеем право назвать совместной, да еще и определенной, то есть имеющей единственное решение. Ответ записывается в следующей форме:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Пример неопределенной системы

Вариант решения определенной системы методом Гаусса разобран, теперь необходимо рассмотреть случай, если система неопределенная, то есть для нее можно найти бесконечно много решений.

х 1 + х 2 + х 3 + х 4 + х 5 = 7 (1)

3х 1 + 2х 2 + х 3 + х 4 - 3х 5 = -2 (2)

х 2 + 2х 3 + 2х 4 + 6х 5 = 23 (3)

5х 1 + 4х 2 + 3х 3 + 3х 4 - х 5 = 12 (4)

Сам вид системы уже настораживает, потому что количество неизвестных n = 5, а ранг матрицы системы уже точно меньше этого числа, потому что количество строк m = 4, то есть наибольший порядок определителя-квадрата - 4. Значит, решений существует бесконечное множество, и надо искать его общий вид. Метод Гаусса для линейных уравнений позволяет это сделать.

Сначала, как обычно, составляется расширенная матрица.

Вторая строка: коэффициент k = (-a 21 /a 11) = -3. В третьей строке первый элемент - еще до преобразований, поэтому не надо ничего трогать, надо оставить как есть. Четвертая строка: k = (-а 4 1 /а 11) = -5

Умножив элементы первой строки на каждый их коэффициентов по очереди и сложив их с нужными строками, получаем матрицу следующего вида:

Как можно видеть, вторая, третья и четвертая строки состоят из элементов, пропорциональных друг другу. Вторая и четвертая вообще одинаковые, поэтому одну из них можно убрать сразу, а оставшуюся умножить на коэффициент "-1" и получить строку номер 3. И опять из двух одинаковых строк оставить одну.

Получилась такая матрица. Пока еще не записана система, нужно здесь определить базисные переменные - стоящие при коэффициентах a 11 = 1 и a 22 = 1, и свободные - все остальные.

Во втором уравнении есть только одна базисная переменная - x 2 . Значит, ее можно выразить оттуда, записав через переменные x 3 , x 4 , x 5 , являющиеся свободными.

Подставляем полученное выражение в первое уравнение.

Получилось уравнение, в котором единственная базисная переменная - x 1 . Проделаем с ней то же, что и с x 2 .

Все базисные переменные, которых две, выражены через три свободные, теперь можно записывать ответ в общем виде.

Также можно указать одно из частных решений системы. Для таких случаев в качестве значений для свободных переменных выбирают, как правило, нули. Тогда ответом будет:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример несовместной системы

Решение несовместных систем уравнений методом Гаусса - самое быстрое. Оно заканчивается сразу же, как только на одном из этапов получается уравнение, не имеющее решения. То есть этап с вычислением корней, достаточно долгий и муторный, отпадает. Рассматривается следующая система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Как обычно, составляется матрица:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И приводится к ступенчатому виду:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

После первого же преобразования в третьей строке содержится уравнение вида

не имеющее решения. Следовательно, система несовместна, и ответом будет пустое множество.

Преимущества и недостатки метода

Если выбирать, каким методом решать СЛАУ на бумаге ручкой, то метод, который был рассмотрен в этой статье, выглядит наиболее привлекательно. В элементарных преобразованиях гораздо труднее запутаться, чем в том случается, если приходится искать вручную определитель или какую-нибудь хитрую обратную матрицу. Однако, если использовать программы для работы с данными такого типа, например, электронные таблицы, то оказывается, что в таких программах уже заложены алгоритмы вычисления основных параметров матриц - определитель, миноры, обратная и и так далее. А если быть уверенным в том, что машина посчитает эти значения сама и не ошибется, целесообразней использовать уже матричный метод или формул Крамера, потому что их применение начинается и заканчивается вычислением определителей и обратными матрицами.

Применение

Поскольку решение методом Гаусса представляет из себя алгоритм, а матрица - это, фактически, двумерный массив, его можно использовать при программировании. Но поскольку статья позиционирует себя, как руководство "для чайников", следует сказать, что самое простое, куда метод можно запихнуть - это электронные таблицы, например, Excel. Опять же, всякие СЛАУ, занесенные в таблицу в виде матрицы, Excel будет рассматривать как двумерный массив. А для операций с ними существует множество приятных команд: сложение (складывать можно только матрицы одинаковых размеров!), умножение на число, перемножение матриц (также с определенными ограничениями), нахождение обратной и транспонированной матриц и, самое главное, вычисление определителя. Если это трудоемкое занятие заменить одной командой, можно гораздо быстрее определять ранг матрицы и, следовательно, устанавливать ее совместность или несовместность.

Определение и описание метода Гаусса

Метод преобразований Гаусса (также известный как преобразование методом последовательного исключения неизвестных переменных из уравнения или матрицы) для решения систем линейных уравнений представляет собой классический методом решения системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Также этот классический метод используют для решения таких задач как получение обратных матриц и определения ранговости матрицы.

Преобразование с помощью метода Гаусса заключается в совершении небольших (элементарных) последовательных изменениях системы линейных алгебраических уравнений, приводящих к исключению переменных из неё сверху вниз с образованием новой треугольной системы уравнений, являющейся равносильной исходной.

Определение 1

Эта часть решения носит название прямого хода решения Гаусса, так как весь процесс осуществляется сверху вниз.

После приведения исходной системы уравнений к треугольной осуществляется нахождение всех переменных системы снизу вверх (то есть первые найденные переменные занимают находятся именно на последних строчках системы или матрицы). Эта часть решения известна также как обратный ход решения методом Гаусса. Заключается его алгоритм в следующем: сначала вычисляется переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляются выше и таким образом находится ещё одна переменная и так далее.

Описание алгоритма метода Гаусса

Последовательность действий для общего решения системы уравнения методом Гаусса заключается в поочередном применении прямого и обратного хода к матрице на основе СЛАУ. Пусть исходная система уравнений имеет следующий вид:

$\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +...+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$

Чтобы решить СЛАУ методом Гаусса, необходимо записать исходную систему уравнений в виде матрицы:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

Матрица $A$ называется основной матрицей и представляет собой записанные по порядку коэффициенты при переменных, а $b$ называется столбцом её свободных членов. Матрица $A$, записанная через черту со столбцом свободных членов называется расширенной матрицей:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & … & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_m \end{array}$

Теперь необходимо с помощью элементарных преобразований над системой уравнений (или над матрицей, так как это удобнее) привести её к следующему виду:

$\begin{cases} α_{1j_{1}} \cdot x_{j_{1}} + α_{1j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{1j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{1j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_1 \\ α_{2j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{2j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{2j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_2 \\ ...\\ α_{rj_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{rj_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \\ 0 = β_m \end{cases}$ (1)

Матрица, полученная из коэффициентов преобразованной системы уравнения (1) называется ступенчатой, вот так обычно выглядят ступенчатые матрицы:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ 0 & a_{22} & a_{23} & b_2\\ 0 & 0 & a_{33} & b_3 \end{array}$

Для этих матриц характерен следующий набор свойств:

1. Все её нулевые строки стоят после ненулевых
2. Если некоторая строка матрицы с номером $k$ ненулевая, то в предыдущей строчке этой же матрицы нулей меньше, чем в этой, обладающей номером $k$.

После получения ступенчатой матрицы необходимо подставить полученные переменные в оставшиеся уравнения (начиная с конца) и получить оставшиеся значения переменных.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

При упрощении матрицы или системы уравнений этим методом нужно использовать только элементарные преобразования.

Таким преобразованиями считаются операции, которые возможно применять к матрице или системе уравнений без изменения её смысла:

• перестановка нескольких строк местами,
• прибавление или вычитание из одной строчки матрицы другой строчки из неё же,
• умножение или деление строчки на константу, не равную нулю,
• строчку, состоящую из одних нулей, полученную в процессе вычисления и упрощения системы, нужно удалить,
• Также нужно удалить лишние пропорциональные строчки, выбрав для системы единственную из них с более подходящими и удобными для дальнейших вычислений коэффициентами.

Все элементарные преобразования являются обратимыми.

Разбор трёх основных случаев, возникающих при решении линейных уравнений используя метод простых преобразований Гаусса

Различают три возникающих случая при использовании метода Гаусса для решения систем:

1. Когда система несовместная, то есть у неё нет каких-либо решений
2. У системы уравнений есть решение, причём единственное, а количество ненулевых строк и столбцов в матрице равно между собой.
3. Система имеет некое количество или множество возможных решений, а количество строк в ней меньше чем количество столбцов.

Исход решения с несовместной системой

Для этого варианта при решении матричного уравнения методом Гаусса характерно получение какой-то строчки с невозможностью выполнения равенства. Поэтому при возникновении хотя бы одного неправильного равенства полученная и исходная системы не имеют решений вне зависимости от остальных уравнений, которые они содержат. Пример несовместной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}$

В последней строчке возникло невыполняемое равенство: $0 \cdot x_{31} + 0 \cdot x_{32} + 0 \cdot x_{33} = 1$.

Система уравнений, у которой есть только одно решение

Данные системы после приведения к ступенчатой матрице и удаления строчек с нулями имеют одинаковое количество строк и столбцов в основной матрице. Вот простейший пример такой системы:

$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end{array}$

Чтобы привести первую ячейку второй строчки к нулю, домножим верхнюю строку на $-2$ и вычтем её из нижней строчки матрицы, а верхнюю строчку оставим в исходном виде, в итоге имеем следующее:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end{array}$

Этот пример можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end{cases}$

Из нижнего уравнения выходит следующее значение $x$: $x_2 = 3 \frac{1}{3}$. Подставим это значение в верхнее уравнение: $x_1 – 3 \frac{1}{3}$, получаем $x_1 = 1 \frac{2}{3}$.

Система, обладающая множеством возможных вариантов решений

Для этой системы характерно меньшее количество значащих строк, чем количество столбцов в ней (учитываются строки основной матрицы).

Переменные в такой системе делятся на два вида: базисные и свободные. При преобразовании такой системы содержащиеся в ней основные переменные необходимо оставить в левой области до знака “=”, а остальные переменные перенести в правую часть равенства.

У такой системы есть только некое общее решение.

Разберём следующую систему уравнений:

$\begin{cases} 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end{array}$

Наша задача найти общее решение системы. Для этой матрицы базисными переменными будут $y_1$ и $y_3$ (для $y_1$ - так как он стоит на первом месте, а в случае $y_3$ - располагается после нулей).

В качестве базисных переменных выбираем именно те, которые первые в строке не равны нулю.

Оставшиеся переменные называются свободными, через них нам необходимо выразить базисные.

Используя так называемый обратный ход, разбираем систему снизу вверх, для этого сначала выражаем $y_3$ из нижней строчки системы:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac{4/5}y_4 + \frac{1}{5}$.

Теперь в верхнее уравнение системы $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ подставляем выраженное $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5}) + y_4 = 1$

Выражаем $y_1$ через свободные переменные $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac{4}{5}y_4 - \frac{1}{5} + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5} – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac{1}{5}y_4 + \frac{6}{5}$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Решение готово.

Пример 1

Решить слау методом Гаусса. Примеры. Пример решения системы линейных уравнений заданных матрицей 3 на 3 используя метод Гаусса

$\begin{cases} 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end{cases}$

Запишем нашу систему в виде расширенной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

Теперь для удобства и практичности нужно преобразовать матрицу так, чтобы в верхнем углу крайнего столбца была $1$.

Для этого к 1-ой строчке нужно прибавляем строчку из середины, умноженную на $-1$, а саму среднюю строчку записываем как есть, выходит:

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end{array}$

Домножим верхнюю и последнюю строчки на $-1$, а также поменяем местами последнюю и среднюю строки:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end{array}$

И разделим последнюю строчку на $3$:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}$

Получаем следующую систему уравнений, равносильную исходной:

$\begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end{cases}$

Из верхнего уравнения выражаем $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Пример 2

Пример решения системы, заданной с помощью матрицы 4 на 4 методом Гаусса

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

В начале меняем местами верхнюю исследующую за ней строчки, чтобы получить в левом верхнем углу $1$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

Теперь умножим верхнюю строчку на $-2$ и прибавим ко 2-ой и к 3-ьей. К 4-ой прибавляем 1-ую строку, домноженную на $-3$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & -1 & 3 & -1 & 4 \\ \end{array}$

Теперь к строке с номером 3 прибавляем строку 2, умноженную на $4$, а к строке 4 прибавляем строку 2, умноженную на $-1$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$

Домножаем строку 2 на $-1$, а строку 4 делим на $3$ и ставим на место строки 3.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end{array}$

Теперь прибавляем к последней строке предпоследнюю, домноженную на $-5$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$

Решаем полученную систему уравнений:

$\begin{cases} m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end{cases}$

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Элементарные преобразования системы уравнений - это:

1. Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;
2. Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;
3. Прибавление к любому i -му уравнению любого j -то уравнения, умноженного на любое число.

Переменная x i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений - является разрешенной.

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

1. Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x i входит с коэффициентом 1;
2. Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x i , и равносильную исходной;
3. Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
4. Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n - число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа - получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Вот и все! Система линейных уравнений решена! Это довольно простой алгоритм, и для его освоения вам не обязательно обращаться к репетитору высшей по математике. Рассмотрим пример:

Задача. Решить систему уравнений:

Описание шагов:

1. Вычитаем первое уравнение из второго и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
2. Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) - получим два уравнения, в которых переменная x 2 входит с коэффициентом 1;
3. Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего - вычитаем. Получим разрешенную переменную x 2 ;
4. Наконец, вычитаем третье уравнение из первого - получаем разрешенную переменную x 3 ;
5. Получили разрешенную систему, записываем ответ.

Общее решение совместной системы линейных уравнений - это новая система, равносильная исходной, в которой все разрешенные переменные выражены через свободные.

Когда может понадобиться общее решение? Если приходится делать меньше шагов, чем k (k - это сколько всего уравнений). Однако причин, по которым процесс заканчивается на некотором шаге l < k , может быть две:

1. После l -го шага получилась система, которая не содержит уравнения с номером (l + 1). На самом деле это хорошо, т.к. разрешенная система все равно получена - даже на несколько шагов раньше.
2. После l -го шага получили уравнение, в котором все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный коэффициент отличен от нуля. Это противоречивое уравнение, а, следовательно, система несовместна.

Важно понимать, что возникновение противоречивого уравнения по методу Гаусса - это достаточное основание несовместности. При этом заметим, что в результате l -го шага не может остаться тривиальных уравнений - все они вычеркиваются прямо в процессе.

Описание шагов:

1. Вычитаем первое уравнение, умноженное на 4, из второго. А также прибавляем первое уравнение к третьему - получим разрешенную переменную x 1 ;
2. Вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, из второго - получим противоречивое уравнение 0 = −5.

Итак, система несовместна, поскольку обнаружено противоречивое уравнение.

Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:

Описание шагов:

1. Вычитаем первое уравнение из второго (предварительно умножив на два) и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
2. Вычитаем второе уравнение из третьего. Поскольку все коэффициенты в этих уравнениях совпадают, третье уравнение превратится в тривиальное. Заодно умножим второе уравнение на (−1);
3. Вычитаем из первого уравнения второе - получим разрешенную переменную x 2 . Вся система уравнений теперь тоже разрешенная;
4. Поскольку переменные x 3 и x 4 - свободные, переносим их вправо, чтобы выразить разрешенные переменные. Это и есть ответ.

Итак, система совместная и неопределенная, поскольку есть две разрешенных переменных (x 1 и x 2) и две свободных (x 3 и x 4).

Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА. Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья . Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений?
и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы :
. По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка : рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями .

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить . Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули .

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля . Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2 : . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась . Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ .

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2 . Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ : рассмотренные манипуляции нельзя использовать , если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду :

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид .

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса .

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения:

И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица . Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения . Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3 :

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО :


А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 :


Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ :

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса . Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так:
(1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1 . То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Ответ : .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса.
Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например:

Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод . В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули:

Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном.... Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением . Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.


Выполненные элементарные преобразования:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем!
(2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание , что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5.
(4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

Ответ : .

Пример 4: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:
(1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке».
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже , «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы

(3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1.
(4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3.
(3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1.
(4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки.
(5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на –5.

Обратный ход: