Простые и составные числа, свойства простых чисел
>>Математика:Простые и составные числа
4. Простые и составные числа
Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими словами, число 7 имеет только два делителя: 1 и 7. У числа 9 три делителя: 1, 3 и 9. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Такие числа, как 9 и 18, называют составными числами, а такие, как 7, - простыми числами.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.
Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.
Первыми десятью простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29. На форзаце учебника приведена таблица простых чисел от 2 до 997.
Число 78 составное, потому что, кроме 1 и 78, оно делится, например, еще на 2. Так как 78:2 = 39, то 78=2*39. Говорят, что число 78 разложено на множители 2 и 39. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя.
? Какие натуральные числа называют простыми? Какие натуральные числа называют составными? Почему число 1 не является ни простым, ни составным?
К 88. Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31,26,100?
89. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника , определите, какие из чисел 101, 121, 253, 409, 561, 563, 863, 997 являются простыми, а какие составными.
90. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 являются составными.
91. Может ли произведение двух простых чисел быть:
а) простым числом;
б) составным числом?
92. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?
93. Известно, что число m делится на 9. Простым или составным является число m?
94. Разложите на два множителя числа: 38; 77; 145; 159.
95. Сколькими способами можно разложить на два множителя числа 18; 42; 55? Способы, при которых произведения отличаются только порядком
множителей, считайте за один способ.
96. Верно ли, что все четные числа являются составными?
97. Может ли выражаться простым числом объем куба, длина ребра которого выражается натуральным числом?
П
98. Вычислите устно:
а) 0,014-1,1+0,09; 8,1 + 2,99 + 1,01; 1,88+3,7+0,12; 2,8 + 1,85 + 2,15; 1,07 + 0,88+1,93;
б) 15 - 2,3; 0,3-0,29; 7-0,2; 6-2,75; 16,4-4;
в) 2,5-2,7-4; 3,9-0,5-2; 1,25-1,9-8; 4-5,6-0,25; 0,5-30-0,1;
г) 1:10; 8,08:8; 9:100; 6,73:10; 0,7:0,01.
99. Найдите пропущенные числа, если а = 33; 42; 75:
100. Выразите в процентах числа: 0,01; 0,29; 0,8; 1.
101. Выразите в виде десятичных дробей: 2%, 5%, 10%, 20%, 50%, 68%, 100%, 130%.
102. Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота равна 15 см. Можно ли утверждать, что объем (в кубических сантиметрах) этого параллелепипеда выражается числом:
а) кратным 2; б) кратным 3; в) кратным 5?
103. Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырехзначное число , делящееся: а) на 9; б) на 3; в) на 6?
104. Выпишите из чисел 215 783, 3 289 775, 21 112 221, 44 856, 555 444, 757 575, 835 743 те, которые:
а) кратны 3; в) делятся без остатка на 3 и на 5;
б) кратны 9; г) кратны 9 и 2.
105. Верно ли, что если число оканчивается цифрой 6, то оно делится на 6? Верно ли, что если число делится на 6, то его запись оканчивается цифрой 6?
106. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5:
а) 241*; б) 1734*; в) 43*5?
107. Стакан вмещает 210 г крупы. Крупой наполнили стакана. Сколько граммов крупы насыпали в стакан?
М 108. Дочь пообещала: «Я схожу в булочную и вымою посуду». Можно ли обещание считать выполненным, если дочь:
а) вымыла посуду, но не сходила в булочную;
б) сходила в булочную и не вымыла посуду;
в) и вымыла посуду, и сходила в булочную;
в) не вымыла посуду и не была в булочной?
Подумайте, в чем сходство этой задачи с задачей нахождения решений неравенства 2<х<6 среди чисел 1; 3; 5; 7.
Д 109. Докажите, что числа 575, 10 053, 3627, 565 656 являются составными.
110. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника, выберете из чисел 122, 132, 153, 157, 187, 499, 550, 621, 881, 865 и 909 простые числа.
111. Запишите все делители числа 90. Выпишите из них те, которые являются простыми числами.
112. Разложите на два множителя всеми возможными способами числа 30, 33, 42, 99. Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей, считайте за один способ.
113. Периметр прямоугольника 66 дм. Длина его одной стороны составляет периметра. Найдите площадь прямоугольника.
114. Найдите значение выражения (15,964:5,2 -1,2) 0,1.
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы
Рефераты, домашняя работа по математике скачать , учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы
Простые и составные числа. Примеры. Определение. Следствия.
Вве-де-ние
Любое число можно пред-ста-вить в виде про-из-ве-де-ния еди-ни-цы на само это число.
На-при-мер,
В общем виде
Вывод: вся-кое число де-лит-ся на само себя и на еди-ни-цу.
Рас-смот-рим таб-ли-цу
В за-ви-си-мо-сти от ко-ли-че-ства де-ли-те-лей среди на-ту-раль-ных чисел вы-де-ля-ют про-стые и со-став-ные.
Опре-де-ле-ния:
Число, ко-то-рое имеет толь-ко два раз-лич-ных де-ли-те-ля - еди-ни-цу и само это число - на-зы-ва-ют про-стым.
Число, ко-то-рое имеет более двух де-ли-те-лей, на-зы-ва-ют со-став-ным.
Число 1 имеет един-ствен-ный де-ли-тель. По-это-му еди-ни-цу не от-но-сят ни к со-став-ным, ни к про-стым чис-лам.
След-ствие 1
Все на-ту-раль-ные числа можно раз-бить на 3 груп-пы:
- Число 1. Оно имеет един-ствен-ный де-ли-тель.
- Про-стые числа. Они имеют в точ-но-сти два де-ли-те-ля.
- Со-став-ные числа. У этих чисел более двух де-ли-те-лей.
Чтобы узнать, про-стым или со-став-ным яв-ля-ет-ся число, можно вос-поль-зо-вать-ся таб-ли-ца-ми.
Таб-ли-ца про-стых чисел от 2 до 997 при-ве-де-на на фор-за-це учеб-ни-ка. Пер-вые де-сять про-стых чисел - это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. По-лез-но вы-учить их на-и-зусть.
След-ствие 2
Разбор примера. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 676 являются составными.
До-ка-жи-те, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 яв-ля-ют-ся со-став-ны-ми.
Разбор примера. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?
Может ли про-из-ве-де-ние двух про-стых чисел быть про-стым чис-лом?
|
Пусть a и b - это неко-то-рые про-стые числа. Число a де-лит-ся на 1 и на само себя. Число b де-лит-ся на 1 и на само себя. |
|
|
Рас-смот-рим про-из-ве-де-ние . Мы знаем, что если одно из двух чисел де-лит-ся на неко-то-рое число, то их про-из-ве-де-ние де-лит-ся на это число. |
|
|
Кроме того, про-из-ве-де-ние де-лит-ся на еди-ни-цу и на само себя. |
|
|
Вывод: Про-из-ве-де-ние имеет, как ми-ни-мум, че-ты-ре де-ли-те-ля. Зна-чит, это со-став-ное число. Оно не может быть про-стым. |
|
Разбор примера. Найдите два составных числа m, которые удовлетворяют неравенству 56
Най-ди-те два со-став-ных числа m, ко-то-рые удо-вле-тво-ря-ют нера-вен-ству .
Разбор примера. Верно ли, что все четные числа являются составными?
Верно ли, что все чет-ные числа яв-ля-ют-ся со-став-ны-ми?
Ответ: невер-но. При-ме-ром слу-жит число 2.
Разбор примера. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?
Может ли пло-щадь квад-ра-та вы-ра-жать-ся про-стым чис-лом, если длина его сто-ро-ны вы-ра-жа-ет-ся на-ту-раль-ным чис-лом?
Рас-смот-рим квад-рат со сто-ро-ной a.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урок:
формирование понятий простых и
составных чисел.
Задачи урока:
- познакомить учащихся с понятием простых и
составных чисел;
- расширить знания о натуральных числах;
- развивать умение слушать;
- воспитывать познавательную активность, интерес
к предмету;
Методические приемы: беседа, рассказ,
демонстрация, работа с учебником, упражнения,
обучающий контроль.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Форма работы: фронтальная, самостоятельная.
Оборудование урока:
- техническое обеспечение: (персональный
компьютер, демонстрационный экран,
мультимедийный проектор);
- программное обеспечение: (Microsoft Power Point, Word,
программы сканирования и обработки изображений);
- карточки с заданиями.
Литература:
- учебник “Математика 6 класс”, автор Н. Виленкин;
- энциклопедический словарь юного математика;
- тесты по математике 6;
- с математикой в путь, автор Н. Лэнгдон.
План урока.
- Организация начала урока.
- Подготовка к изучению нового материала через
повторение и актуализацию опорных знаний.
- Изучение нового материала.
- Первичное осмысление и закрепление нового
материала.
- Подведение итогов.
- Информация о домашнем задании.
Ход урока
1. Организация начала урока.
Здравствуйте ребята, садитесь.
2. Подготовка к изучению нового материала через
повторение и актуализацию опорных знаний.
На прошлом уроке у вас было домашнее задание
повторить материал прошлых уроков, который нам
сегодня пригодится для изучения новой темы.
Устный опрос.
- Какое число называют делителем данного
натурального числа? (Делителем натурального
числа а называют натуральное число, на которое а
делится без остатка.)
- Какое число является делителем любого
натурального числа? (Единица.)
- Из предложенного списка назвать все делители
числа 16. (1; 4; 2; 16; 8) Слайд №1
- Из предложенного списка назвать все числа,
которые делятся на 10. Почему? (100, 570 –
оканчиваются цифрой 0) Слайд №2
- Из предложенного списка назвать все числа,
которые делятся на 5. Почему? (100, 570, 5, 25, 3735 -
оканчиваются цифрой 0 или 5) Слайд №3
- Из предложенного списка назвать все числа,
которые делятся на 2. Почему? (100, 14, 128, 570, 296 -
оканчиваются четными цифрами) Слайд №4
- Из предложенного списка назвать все числа,
которые делятся на 3. Почему?
(111, 3735 – сумма
цифр числа делится на 3) Слайд №5
- Задание выполнено с ошибкой. Найди их. (327 не
делится на 2, 142 не делится на 10, 9296 не делится на 5,
648 не делится на 5, 859 не делится на 10) Слайд №6
3. Изучение нового материала. Слайд №7
Назвать все делители чисел. Что можно сказать о
количестве делителей этих чисел? (Есть числа,
которые имеют только два делителя и числа,
которые имеют более двух делителей)
Итак, ребята, сегодня на уроке мы узнаем как
называются такие числа. Откройте тетради,
запишите число, классная работа и тему урока
“Простые и составные числа”. Слайд №8
Натуральное число может быть либо простым, если
оно имеет два делителя или составным, если оно
имеет более двух делителей. Единица – ни простое,
ни составное число.
Задание: Записать в тетради три простых числа
и три составных.
Любое составное число можно разложить на два
множителя, каждый из которых больше 1. Простое
число так разложить на множители нельзя.
Задание: Выполнить письменно №94. Слайд №9
Представлена таблица простых чисел. По таблице
видно, что число 2 наименьшее простое четное
число, остальные простые числа нечетные. Таблица
простых чисел находится на форзаце вашего
учебника.
Задание: Выполнить устно №89.
Два простых числа, разность которых равна 2,
называются близнецами.
Найдите по таблице числа-близнецы. (Например: 17
и 19).
В настоящее время составление таблиц простых
чисел можно “поручить” компьютерам, с их
помощью уже получены огромные простые числа,
которые “вручную”, наверное, никогда бы не были
найдены. Однако компьютеры, даже и мощные, тоже
имеют ограниченные возможности. И возникает
такой естественный вопрос: можно ли построить,
хотя бы в далеком будущем, такой мощный
компьютер, чтобы он нашел, наконец, все простые
числа? Оказывается, что ответ на этот вопрос уже
есть и найден…больше двух тысяч лет назад.
Слайд №8
Великий математик Древней Греции Евклид
доказал, что полный список составить просто
невозможно. Можно сказать также, что среди
простых чисел нет самого большого числа. Так две
с лишним тысяч лет назад Евклид лишил
математиков надежды получить полный список
простых чисел. Слайд №9
Для отыскания простых чисел другой греческий
математик того же времени – Эратосфен придумал
такой способ. Он записывал все числа от 1 до
какого-то числа, а потом вычеркивал единицу,
которая не является ни простым, ни составным
числом, затем вычеркивал через одно все числа,
идущие после 2 (числа, кратные 2 т. е. 4, 6, 8 и т.д.).
Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее
вычеркивались через два все числа, идущие после 3
(числа, кратные 3), далее через четыре числа идущие
после 5 и так далее. В конце концов оставались не
вычеркнутыми только простые числа. Так как греки
делали записи на покрытых воском табличках или
на натянутом папирусе, а числа не вычеркивали, а
выкалывали иглой, то таблица напоминала решето.
Поэтому метод Эратосфена называют решетом
Эратосфена.
4. Первичное осмысление и закрепление нового
материала.
(Каждому ученику раздаются карточки с
заданием.)
Вариант 1
Два делителя.
- Составное - 4; 1, 3, 9, 27.
- Составное - 713 285; 984; 12 327.
- Простое - 13; 73.
100 263; 715; 1 712; 34; 80 121.
Вариант 2
Более двух делителей.
- Простое - 2; 1, 19.
- Составное - 300 099; 9 082 184; 912 327.
- Простое - 17; 71.
7 775; 8 654; 81; 63; 80 127.
5. Подведение итогов. Слайд №10
Ребята, что сегодня на уроке мы узнали? (Мы
узнали, что натуральные числа бывают простыми,
составными)
Единица - какое число? (Ни простое, ни составное)
6. Информация о домашнем задании Слайд №11
(П. 4, ответить устно на вопросы стр. 17, письменно
№111; №112.)
На этом уроке вы познакомитесь с простыми и составными числами. Кроме того, повторите, что такое натуральный ряд чисел. Сможете определить в нем простые и составные числа. Узнаете, что такое решето Эратосфена. Выделите группы натуральных чисел. Узнаете основную теорему арифметики. Научитесь раскладывать составные числа на простые множители.
Правила игры
1. Берем число, а потом вычеркиваем все числа, которые на него делятся. Начинаем с 2.
Так, каждое второе число будет делиться на два (рис. 2).
Рис. 2. Вычеркивание всех чисел, которые делятся на 2
2. Берем следующее незачеркнутое число и обводим его кружочком. Вычеркиваем числа, которые делятся на три.
Рис. 3. Вычеркивание чисел, которые делятся на 3
3. Следующее незачеркнутое число - пять. Вычеркиваем все числа, делящиеся на пять (рис. 4).
Рис. 4. Вычеркивание чисел, которые делятся на 5
4. Берем число семь и продолжаем зачеркивать числа (рис. 5).
Рис. 5. Вычеркивание чисел, которые делятся на 7
5. Посмотрим, что получилось: зачеркнуты почти все числа. После того как мы подумаем над тем, что объединяет все зачеркнутые числа, ответим: они все на что-то делились. Те числа, которые остались незачеркнутыми (рис. 4), ни на что, кроме себя и единицы, не делятся.
Данное действие называется решето Эратосфена
- просеивание натурального ряда в поисках простых чисел. Простые числа
- это такие числа, которые делятся на себя и на единицу (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Те числа, которые делятся не только на себя и на единицу, имеют больше двух делителей, называются составными
.
Есть интересное число, которое делится только на себя (имеет один делитель). Это единица, она не является ни простым, ни составным.
Все натуральные числа
- числа, которые мы используем при счете, можно разделить на три группы.
1. Простые
- имеют только два делителя: единицу и само себя, например: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23 и т. д.
2. Составные числа
- имеют больше двух делителей, например: 4, 6, 8,10,15, 22 и т. д.
3. Единица
(1) имеет только один делитель.
Если посмотрим на таблицу простых чисел (рис. 6), то заметим, что все числа, кроме двойки, нечетные. Самое маленькое простое число - два. А самое большое из ныне найденных простых чисел содержит семнадцать миллионов четыреста двадцать пять тысяч сто семьдесят цифр: 17 425 170 цифр.
Рис. 6. Таблица некоторых простых чисел ()
Любое натуральное число можно разложить в произведение простых чисел единственным образом с точностью до порядка сомножителей.
2. Аналогично раскладываем на простые множители число 48.
Обратите внимание: каждый раз мы выделяли простой множитель, а потом второй множитель раскладывали на множители и так, пока не получили все простые.
3. Теперь для разложения с помощью основной теоремы арифметики возьмем 122. Данное число делится на два, получаем 61. Так как шестьдесят один - это простое число, то разложение числа 122 на простые множители:
4. Если разложим число 462 на простые множители, получим:
В простых числах интересно то, что иногда они стоят через один (подряд простые числа стоять не могут, потому что каждое второе делится на 2, исключением является пара 2 и 3), например 3 и 5 или 71 и 73, или 461 и 463, такие числа называют «близнецами
». Иногда простые числа очень далеко расположены друг от друга и найти каждое следующее простое число с каждым разом все сложнее.
Криптограф -
специалист по расшифровке и зашифровыванию информации.
Так, криптографы используют большие простые числа, для того чтобы создавать коды, которые очень сложно взламывать.
В последующих уроках нам потребуются знания о простых числах, чтобы вычислять НОД - наибольший общий делитель и НОК - наименьшее общее кратное.
Список литературы
1. Математика. 6 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 30-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2013. - 288 с.: ил.
2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика, 6 класс. - М.: Мнемозина.
3. Истомина Н.Б., Математика, 6 класс. - М.: Ассоциация ХХI век.
1. Интернет портал «Научная библиотека» ()
2. Интернет портал «Clever Students» ()
3. Интернет портал «Школьный помощник» ()
Домашнее задание
1. Математика. 6 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 30-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2013., ст. 17 § 4, № 95, 98, 104.
2. Что такое натуральные числа?
3. Какие группы натуральных чисел вы знаете?
4. * Разложите на простые множитель такие числа, воспользовавшись основной теоремой арифметики:
а) 335 б) 892 в) 647 г) 995 д) 44 е) 220
Определение 1
Натуральное число $p$ называется простым числом, если у него только $2$ делителя: $1$ и оно само.
Делителем натурального числа $a$ называют натуральное число, на которое исходное число $a$ делится без остатка.
Пример 1
Найти делители числа $6$.
Решение:
Нам надо найти все числа, на которые заданное число $6$ делится без остатка. Это будут числа: $1,2,3,6.$ Значит делителем числа $6$ будут числа $1,2,3,6.$
Ответ:
$1,2,3,6$.
Значит, для того, чтобы найти делители числа надо найти все натуральные числа, на которые данное делится без остатка. Нетрудно заметить, что число $1$ будет являться делителем любого натурального числа.
Пример 2
На сколько равных кучек можно разделить $15$ орехов?
Решение.
Нам необходимо разделить поровну нацело $15$ орехов, т.е. найти делители числа $15$.Найдем числа, на которые число $15$ делится без остатка.
Это числа:$1,3,5,15$. Значит $15$ орехов можно разделить на $1,3,5,15$ равных кучек.
Ответ:
на $1,3,5,15$ кучек.
Определение 2
Составным
называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.
Примером простого числа может являться число $13$, примером составного число $14$.
Замечание 1
Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.
Наибольший общий делитель
Определение 4
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:
- Разложить числа на простые множители
- Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
- Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
Пример 3
Найти НОД чисел $63$ и $81$.
Решение: Найдём НОД чисел $63$ и $81$
Разложим числа на простые множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
$НОД=3\cdot 3=9$
Свойство составных и простых чисел
Теорема 1
Любое составное число можно разложить на $2$ множителя, каждый из которых больше единицы. Простое число так представить нельзя.
Действительно, простое число $17$ можно представить в виде произведения множителей только так: $17=1\cdot 17$, а составное число $18=1\cdot 2\cdot 9$. У составного числа $18$ три множителя, два из которых больше единицы.
Замечание 2
Всякое составное число можно разложить на простые множители и представить в виде произведения множителей, которые являются простыми числами.
Свойства простых чисел
Если простое число $p$ делится на простое число $q$, то эти числа равны $(p=q)$. Действительно, если $p$ - простое число, то оно по определению имеет только два делителя, а именно $1$ и $p$. Но т.к. по условию $р\vdots q$, значит $q$ равно либо $1$, либо $p$. Т. к $q≠1$, значит $p=q$.
Если $p$- простое число, то любое натуральное число либо делится на $p$, либо взаимно простое с $p$.
В самом деле, допустим, что $p$ и $n$- не взаимно простые. И либо опровергнем, либо убедимся в этом. Если указанные числа не взаимно простые, то у них должен быть хотя бы один общий делитель, отличный от $1$, обозначим его $d$. Но по условию $p$- простое число, значит имеет по определению, всего два делителя-$1$ и $p$.Поскольку $d≠1$, то $d=p$, и поэтому $n$ делится на $p$.
Произведение натуральных чисел $a$ и $b$ делится на простое число $p$ в том случае, когда хотя бы одно из этих чисел делится на $p$.
Данное утверждение верно для произведения нескольких множителей- если такое произведение делится на простое число $p$, то хотя бы один из множителей делится на $p$.
Любое натуральное число, отличное от $1$, является либо простым, либо произведением простых чисел
Если натуральное число m делится на простое число $p$, то в любом разложении этого числа на простые множители хотябы один из множителей равен $p$.
Действительно, пусть $m=p_{1\dots \dots .}p_k$-разложение на множители.Так как $m\vdots p$, то по утверждению,данному в п.3 хотя бы один из множителей делится на $p$.Пусть, например $р_1\vdots p$.Тогда по утверждению, данному в п.1 выполняется равенство $р_1=p$
Любые два разложения составного числа отличаются друг от друга только порядком множителей.
Замечание 3
Из простых чисел с помощью умножения можно постоить все натуральные числа.
Свойства простых чисел
Среди простых чисел нет наибольшего
Если $n$-составное натуральное число, то среди его простых делителей есть хотя бы один делитель $p$, такой, что $р^2\le n$.
Второе свойство можно успешно использовать при разложении числа на множители или при проверке его на простоту. Достаточно ограничиться проверкой делимости числа $n$ на простые делители p,для которых будет выполняться $р^2\le n$.
Пример 4
Проверить, является ли число $91$ составным.
Решение: Так как $7^2
Най-ди-те два со-став-ных числа m, ко-то-рые удо-вле-тво-ря-ют нера-вен-ству .
Разбор примера. Верно ли, что все четные числа являются составными?
Верно ли, что все чет-ные числа яв-ля-ют-ся со-став-ны-ми?
Ответ: невер-но. При-ме-ром слу-жит число 2.
Разбор примера. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?
Может ли пло-щадь квад-ра-та вы-ра-жать-ся про-стым чис-лом, если длина его сто-ро-ны вы-ра-жа-ет-ся на-ту-раль-ным чис-лом?
|
|
Рас-смот-рим квад-рат со сто-ро-ной a. |
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урок: формирование понятий простых и составных чисел.
Задачи урока:
- познакомить учащихся с понятием простых и составных чисел;
- расширить знания о натуральных числах;
- развивать умение слушать;
- воспитывать познавательную активность, интерес к предмету;
Методические приемы: беседа, рассказ, демонстрация, работа с учебником, упражнения, обучающий контроль.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Форма работы: фронтальная, самостоятельная.
Оборудование урока:
- техническое обеспечение: (персональный компьютер, демонстрационный экран, мультимедийный проектор);
- программное обеспечение: (Microsoft Power Point, Word, программы сканирования и обработки изображений);
- карточки с заданиями.
Литература:
- учебник “Математика 6 класс”, автор Н. Виленкин;
- энциклопедический словарь юного математика;
- тесты по математике 6;
- с математикой в путь, автор Н. Лэнгдон.
План урока.
- Организация начала урока.
- Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
- Изучение нового материала.
- Первичное осмысление и закрепление нового материала.
- Подведение итогов.
- Информация о домашнем задании.
Ход урока
1. Организация начала урока.
Здравствуйте ребята, садитесь.
2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
На прошлом уроке у вас было домашнее задание повторить материал прошлых уроков, который нам сегодня пригодится для изучения новой темы.
Устный опрос.
- Какое число называют делителем данного натурального числа? (Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.)
- Какое число является делителем любого натурального числа? (Единица.)
- Из предложенного списка назвать все делители числа 16. (1; 4; 2; 16; 8) Слайд №1
- Из предложенного списка назвать все числа, которые делятся на 10. Почему? (100, 570 – оканчиваются цифрой 0) Слайд №2
- Из предложенного списка назвать все числа, которые делятся на 5. Почему? (100, 570, 5, 25, 3735 - оканчиваются цифрой 0 или 5) Слайд №3
- Из предложенного списка назвать все числа, которые делятся на 2. Почему? (100, 14, 128, 570, 296 - оканчиваются четными цифрами) Слайд №4
- Из предложенного списка назвать все числа, которые делятся на 3. Почему? (111, 3735 – сумма цифр числа делится на 3) Слайд №5
- Задание выполнено с ошибкой. Найди их. (327 не делится на 2, 142 не делится на 10, 9296 не делится на 5, 648 не делится на 5, 859 не делится на 10) Слайд №6
3. Изучение нового материала. Слайд №7
Назвать все делители чисел. Что можно сказать о количестве делителей этих чисел? (Есть числа, которые имеют только два делителя и числа, которые имеют более двух делителей)
Итак, ребята, сегодня на уроке мы узнаем как называются такие числа. Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока “Простые и составные числа”. Слайд №8
Натуральное число может быть либо простым, если оно имеет два делителя или составным, если оно имеет более двух делителей. Единица – ни простое, ни составное число.
Задание: Записать в тетради три простых числа и три составных.
Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя.
Задание: Выполнить письменно №94. Слайд №9
Представлена таблица простых чисел. По таблице видно, что число 2 наименьшее простое четное число, остальные простые числа нечетные. Таблица простых чисел находится на форзаце вашего учебника.
Задание: Выполнить устно №89.
Два простых числа, разность которых равна 2, называются близнецами.
Найдите по таблице числа-близнецы. (Например: 17 и 19).
В настоящее время составление таблиц простых чисел можно “поручить” компьютерам, с их помощью уже получены огромные простые числа, которые “вручную”, наверное, никогда бы не были найдены. Однако компьютеры, даже и мощные, тоже имеют ограниченные возможности. И возникает такой естественный вопрос: можно ли построить, хотя бы в далеком будущем, такой мощный компьютер, чтобы он нашел, наконец, все простые числа? Оказывается, что ответ на этот вопрос уже есть и найден…больше двух тысяч лет назад. Слайд №8
Великий математик Древней Греции Евклид доказал, что полный список составить просто невозможно. Можно сказать также, что среди простых чисел нет самого большого числа. Так две с лишним тысяч лет назад Евклид лишил математиков надежды получить полный список простых чисел. Слайд №9
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени – Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2 т. е. 4, 6, 8 и т.д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3), далее через четыре числа идущие после 5 и так далее. В конце концов оставались не вычеркнутыми только простые числа. Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблица напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена.
4. Первичное осмысление и закрепление нового материала.
(Каждому ученику раздаются карточки с заданием.)
Вариант 1
Два делителя.
- Составное - 4; 1, 3, 9, 27.
- Составное - 713 285; 984; 12 327.
- Простое - 13; 73.
100 263; 715; 1 712; 34; 80 121.
Вариант 2
Более двух делителей.
- Простое - 2; 1, 19.
- Составное - 300 099; 9 082 184; 912 327.
- Простое - 17; 71.
7 775; 8 654; 81; 63; 80 127.
5. Подведение итогов. Слайд №10
Ребята, что сегодня на уроке мы узнали? (Мы узнали, что натуральные числа бывают простыми, составными)
Единица - какое число? (Ни простое, ни составное)
6. Информация о домашнем задании Слайд №11
(П. 4, ответить устно на вопросы стр. 17, письменно №111; №112.)
На этом уроке вы познакомитесь с простыми и составными числами. Кроме того, повторите, что такое натуральный ряд чисел. Сможете определить в нем простые и составные числа. Узнаете, что такое решето Эратосфена. Выделите группы натуральных чисел. Узнаете основную теорему арифметики. Научитесь раскладывать составные числа на простые множители.
Правила игры
1. Берем число, а потом вычеркиваем все числа, которые на него делятся. Начинаем с 2.
Так, каждое второе число будет делиться на два (рис. 2).
Рис. 2. Вычеркивание всех чисел, которые делятся на 2
2. Берем следующее незачеркнутое число и обводим его кружочком. Вычеркиваем числа, которые делятся на три.
Рис. 3. Вычеркивание чисел, которые делятся на 3
3. Следующее незачеркнутое число - пять. Вычеркиваем все числа, делящиеся на пять (рис. 4).
Рис. 4. Вычеркивание чисел, которые делятся на 5
4. Берем число семь и продолжаем зачеркивать числа (рис. 5).
Рис. 5. Вычеркивание чисел, которые делятся на 7
5. Посмотрим, что получилось: зачеркнуты почти все числа. После того как мы подумаем над тем, что объединяет все зачеркнутые числа, ответим: они все на что-то делились. Те числа, которые остались незачеркнутыми (рис. 4), ни на что, кроме себя и единицы, не делятся.
Данное действие называется решето Эратосфена - просеивание натурального ряда в поисках простых чисел. Простые числа - это такие числа, которые делятся на себя и на единицу (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Те числа, которые делятся не только на себя и на единицу, имеют больше двух делителей, называются составными .
Есть интересное число, которое делится только на себя (имеет один делитель). Это единица, она не является ни простым, ни составным.
Все натуральные числа - числа, которые мы используем при счете, можно разделить на три группы.
1. Простые - имеют только два делителя: единицу и само себя, например: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23 и т. д.
2. Составные числа - имеют больше двух делителей, например: 4, 6, 8,10,15, 22 и т. д.
3. Единица (1) имеет только один делитель.
Если посмотрим на таблицу простых чисел (рис. 6), то заметим, что все числа, кроме двойки, нечетные. Самое маленькое простое число - два. А самое большое из ныне найденных простых чисел содержит семнадцать миллионов четыреста двадцать пять тысяч сто семьдесят цифр: 17 425 170 цифр.
Рис. 6. Таблица некоторых простых чисел ()
Любое натуральное число можно разложить в произведение простых чисел единственным образом с точностью до порядка сомножителей.
2. Аналогично раскладываем на простые множители число 48.
Обратите внимание: каждый раз мы выделяли простой множитель, а потом второй множитель раскладывали на множители и так, пока не получили все простые.
3. Теперь для разложения с помощью основной теоремы арифметики возьмем 122. Данное число делится на два, получаем 61. Так как шестьдесят один - это простое число, то разложение числа 122 на простые множители:
4. Если разложим число 462 на простые множители, получим:
В простых числах интересно то, что иногда они стоят через один (подряд простые числа стоять не могут, потому что каждое второе делится на 2, исключением является пара 2 и 3), например 3 и 5 или 71 и 73, или 461 и 463, такие числа называют «близнецами ». Иногда простые числа очень далеко расположены друг от друга и найти каждое следующее простое число с каждым разом все сложнее.
Криптограф - специалист по расшифровке и зашифровыванию информации.
Так, криптографы используют большие простые числа, для того чтобы создавать коды, которые очень сложно взламывать.
В последующих уроках нам потребуются знания о простых числах, чтобы вычислять НОД - наибольший общий делитель и НОК - наименьшее общее кратное.
Список литературы
1. Математика. 6 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 30-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2013. - 288 с.: ил.
2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика, 6 класс. - М.: Мнемозина.
3. Истомина Н.Б., Математика, 6 класс. - М.: Ассоциация ХХI век.
1. Интернет портал «Научная библиотека» ()
2. Интернет портал «Clever Students» ()
3. Интернет портал «Школьный помощник» ()
Домашнее задание
1. Математика. 6 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 30-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2013., ст. 17 § 4, № 95, 98, 104.
2. Что такое натуральные числа?
3. Какие группы натуральных чисел вы знаете?
4. * Разложите на простые множитель такие числа, воспользовавшись основной теоремой арифметики:
а) 335 б) 892 в) 647 г) 995 д) 44 е) 220
Определение 1
Натуральное число $p$ называется простым числом, если у него только $2$ делителя: $1$ и оно само.
Делителем натурального числа $a$ называют натуральное число, на которое исходное число $a$ делится без остатка.
Пример 1
Найти делители числа $6$.
Решение: Нам надо найти все числа, на которые заданное число $6$ делится без остатка. Это будут числа: $1,2,3,6.$ Значит делителем числа $6$ будут числа $1,2,3,6.$
Ответ: $1,2,3,6$.
Значит, для того, чтобы найти делители числа надо найти все натуральные числа, на которые данное делится без остатка. Нетрудно заметить, что число $1$ будет являться делителем любого натурального числа.
Пример 2
На сколько равных кучек можно разделить $15$ орехов?
Решение. Нам необходимо разделить поровну нацело $15$ орехов, т.е. найти делители числа $15$.Найдем числа, на которые число $15$ делится без остатка.
Это числа:$1,3,5,15$. Значит $15$ орехов можно разделить на $1,3,5,15$ равных кучек.
Ответ: на $1,3,5,15$ кучек.
Определение 2
Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.
Примером простого числа может являться число $13$, примером составного число $14$.
Замечание 1
Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.
Наибольший общий делитель
Определение 4
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:
- Разложить числа на простые множители
- Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
- Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
Пример 3
Найти НОД чисел $63$ и $81$.
Решение: Найдём НОД чисел $63$ и $81$
Разложим числа на простые множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
$НОД=3\cdot 3=9$
Свойство составных и простых чисел
Теорема 1
Любое составное число можно разложить на $2$ множителя, каждый из которых больше единицы. Простое число так представить нельзя.
Действительно, простое число $17$ можно представить в виде произведения множителей только так: $17=1\cdot 17$, а составное число $18=1\cdot 2\cdot 9$. У составного числа $18$ три множителя, два из которых больше единицы.
Замечание 2
Всякое составное число можно разложить на простые множители и представить в виде произведения множителей, которые являются простыми числами.
Свойства простых чисел
Если простое число $p$ делится на простое число $q$, то эти числа равны $(p=q)$. Действительно, если $p$ - простое число, то оно по определению имеет только два делителя, а именно $1$ и $p$. Но т.к. по условию $р\vdots q$, значит $q$ равно либо $1$, либо $p$. Т. к $q≠1$, значит $p=q$.
Если $p$- простое число, то любое натуральное число либо делится на $p$, либо взаимно простое с $p$.
В самом деле, допустим, что $p$ и $n$- не взаимно простые. И либо опровергнем, либо убедимся в этом. Если указанные числа не взаимно простые, то у них должен быть хотя бы один общий делитель, отличный от $1$, обозначим его $d$. Но по условию $p$- простое число, значит имеет по определению, всего два делителя-$1$ и $p$.Поскольку $d≠1$, то $d=p$, и поэтому $n$ делится на $p$.
Произведение натуральных чисел $a$ и $b$ делится на простое число $p$ в том случае, когда хотя бы одно из этих чисел делится на $p$.
Данное утверждение верно для произведения нескольких множителей- если такое произведение делится на простое число $p$, то хотя бы один из множителей делится на $p$.
Любое натуральное число, отличное от $1$, является либо простым, либо произведением простых чисел
Если натуральное число m делится на простое число $p$, то в любом разложении этого числа на простые множители хотябы один из множителей равен $p$.
Действительно, пусть $m=p_{1\dots \dots .}p_k$-разложение на множители.Так как $m\vdots p$, то по утверждению,данному в п.3 хотя бы один из множителей делится на $p$.Пусть, например $р_1\vdots p$.Тогда по утверждению, данному в п.1 выполняется равенство $р_1=p$
Любые два разложения составного числа отличаются друг от друга только порядком множителей.
Замечание 3
Из простых чисел с помощью умножения можно постоить все натуральные числа.
Свойства простых чисел
Среди простых чисел нет наибольшего
Если $n$-составное натуральное число, то среди его простых делителей есть хотя бы один делитель $p$, такой, что $р^2\le n$.
Второе свойство можно успешно использовать при разложении числа на множители или при проверке его на простоту. Достаточно ограничиться проверкой делимости числа $n$ на простые делители p,для которых будет выполняться $р^2\le n$.
Пример 4
Проверить, является ли число $91$ составным.
Решение: Так как $7^2