Закон распределения случайной величины. Дискретная случайная величина: примеры решений задач
Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями.
ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно:
Р(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .
ПРИМЕР 2. Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5; их вероятности зависят от надежности каждого из элементов.
Дискретная случайная величина Х может быть задана рядом распределения или функцией распределения (интегральным законом распределения).
Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений х i и соответствующих им вероятностей р i = Р ( Х = х i ), он может быть задан в виде таблицы:
| х i | х n |
|||
| р i | р n |
При этом вероятности р i удовлетворяют условию
р
i
= 1 , потому, что 
где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения . Для его построения возможные значения случайной величины (х i ) откладываются по оси абсцисс, а вероятности р i - по оси ординат; точки А i c координатами ( х i ,р i ) соединяются ломаными линиями.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (х ), значение которой в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х будет меньше этого значения х , то есть
F (х) = Р (Х< х).
ФункцияF (х ) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле
F (х)= р i , (1.10.1)
где суммирование ведется по всем значениям i , для которых х i < х.
ПРИМЕР 3. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределений случайного числа Х дефектных изделий, содержащихся в выборке.
Решение . Так как в выборке число дефектных изделий может быть любым целым числом в пределах от 0 до 5 включительно, то возможные значения х i случайной величины Х равны:
х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3, х 5 = 4, х 6 = 5.
Вероятность Р (Х = k ) того, что в выборке окажется ровно k (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектных изделий, равна
Р (Х = k ) = .
В результате расчетов по данной формуле с точностью 0,001 получим:
р 1 = Р (Х = 0) @ 0,583; р 2 = Р (Х = 1) @ 0,340; р 3 = Р (Х = 2) @ 0,070;
р 4 = Р (Х = 3) @ 0,007; р 5 = Р (Х = 4) @ 0; р 6 = Р (Х = 5) @ 0.
Используя для проверки равенство р k =1, убеждаемся, что расчеты и округление произведены правильно (см. табл.).
| х i | ||||||
| р i |
ПРИМЕР 4. Дан ряд распределения случайной величины Х :
| х i | |||||
| р i |
Найти функцию распределения вероятности F (х ) этой случайной величины и построить ее.
Решение . Если х £ 10, то F ( х ) = Р (Х < х ) = 0;
если 10 < х £ 20 , то F ( х ) = Р (Х <х ) = 0,2 ;
если 20 < х £ 30 , то F ( х ) = Р ( Х < х ) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
если 30 < х £ 40 , то F ( х ) = Р (Х < х ) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
если 40 < х £ 50 , то F ( х ) = Р (Х < х ) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
если х > 50 , то F ( х ) = Р ( Х < х ) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
X
задана законом распределения вероятностей: Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно … 0,80
Решение:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х определяется как 
, где дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле .Тогда , а 
Решение:
A
(вынутый наудачу шар – черный) применим формулу полной вероятности: .Здесь вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность 
равна …
Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле . Тогда
Или . Решив последнее уравнение, получаем два корня и
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …
Решение:
Для вычисления события А (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой где n
m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть .
А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . 
Банк выдает 44% всех кредитов юридическим лицам, а 56% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок, равна …
| 0,856 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
(выданный кредит будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины Х 
| 0,655 |
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …
Решение:
Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A
. В нашем случае возможны 
элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно, 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
функция распределения вероятностей имеет вид:
Тогда значение параметра может быть равно …
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
Решение:
По определению 
. Следовательно, и . Этим условиям удовлетворяет, например, значение
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:
Тогда ее дисперсия равна …
Решение:
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее дисперсию можно вычислить по формуле 
. То есть 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 6 черных шаров и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 8 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из первой урны, равна …
Решение:
A
(вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда 
.
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса: 
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная случайная величина X
задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее дисперсия равна …
| 7,56 | |||
| 3,2 | |||
| 3,36 | |||
| 6,0 |
Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно,
Тема: Определение вероятности
Внутрь круга радиуса 4 наудачу брошена точка. Тогда вероятность того, что точка окажется вне вписанного в круг квадрата, равна …
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных, равна …
Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет бракованных) воспользуемся формулой , где n
– общее число возможных элементарных исходов испытания, а m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три небракованные детали из семи, то есть . Следовательно, 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
Тогда 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда вероятность 
равна …
Решение:
Воспользуемся формулой 
. Тогда 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A
.
.
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Тогда ее математическое ожидание равно …
Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда .
Тема: Определение вероятности
Решение:
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей 
. Тогда математическое ожидание a
и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равны …
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Решение:
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид 
, где , . Поэтому .
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда значения a
и b
могут быть равны …
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то . Этому условию удовлетворяет ответ: .
Тема: Определение вероятности
В круг радиуса 8 помещен меньший круг радиуса 5. Тогда вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг, равна …
Решение:
Для вычисления вероятности искомого события воспользуемся формулой , где – площадь меньшего круга, а – площадь большего круга. Следовательно, .
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 5 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет белым, равна …
| 0,47 | |||
| 0,55 | |||
| 0,35 | |||
| 0,50 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
(вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.
Тогда 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины :
функция распределения вероятностей имеет вид:
Тогда значение параметра может быть равно …
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A
(выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда .
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, по формуле Байеса: .
ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …
Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой , где n
– общее число возможных элементарных исходов испытания, а m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Тогда ее дисперсия равна …
Решение:
Дисперсию непрерывной случайной величины можно вычислить по формуле
Тогда 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …
| |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно, 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
(вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн.
Тогда .
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда вероятность равна …
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и в свою очередь, случайная величина называется дискретной , если множество её значений конечно или счётно.
Кроме дискретных случайных величин существуют также непрерывные случайные величины.
Рассмотрим более подробно понятие случайной величины. На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и так далее до некоторого конечного числа n . К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и так далее. Такие величины будем называть случайными. Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.
Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.
Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством. Но в любом случае их можно в каком-то порядке пронумеровать, или, более точно - установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, ..., n .
Внимание: новое, очень важное понятие теории вероятностей - закон распределения
.
Пусть X
может принимать
n
значений: .
Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть
объединены) и расположены в возрастающем порядке. Для полной характеристики дискретной
случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности
,
с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е. 
.
Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p (x ), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она пример какое-то значение или попадёт в какой-то интервал).
Наиболее просто и удобно закон распределения дискретной случайной величины задавать в виде следующей таблицы:
| Значение | ... | |||
| Вероятность | ... |
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины . В верхней строке ряда распределения перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины (иксы), а в нижней - вероятности этих значений (p ).
События 
являются несовместимыми и единственно возможными: они образуют полную систему
событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:
.
Пример 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью по 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет за 100 руб. Всего продано 50 билетов.
Решение. Интересующая нас случайная величина X может принимать три значения: - 100 руб. (если студент не выиграет, а фактически проиграет 100 руб., уплаченные им за билет), 900 руб. и 2900 руб. (фактический выигрыш уменьшается на 100 руб. - на стоимость билета). Первому результату благоприятствуют 47 случаев из 50, второму - 2, а третьему - один. Поэтому их вероятности таковы: P (X =-100)=47/50=0,94 , P (X =900)=2/50=0,04 , P (X =2900)=1/50=0,02 .
Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид
| Сумма выигрыша | -100 | 900 | 2900 |
| Вероятность | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Функция распределения дискретной случайной величины: построение
Ряд распределения может быть построен только для дискретной случайной величины (для недискретной он не может быть построен хотя бы потому, что множество возможных значений такой случайной величины несчётно, их нельзя перечислить в верхней строке таблицы).
Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных), является функция распределения.
Функцией распределения дискретной случайной величины
или интегральной функцией
называется функция 
,
которая определяет вероятность, что значение случайной величины X
меньше или
равно граничному значению х
.
Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.
Пример 2. Дискретная случайная величина X - число очков, выпавших при бросании игральной кости. Постоить её функцию распределения.
Решение. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
| Значение | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Вероятность | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Функция распределения F (x ) имеет 6 скачков, равных по величине 1/6 (на рисунке внизу).
Пример 3. В урне 6 белых шаров и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров - дискретная случайная величина X . Составить соответствующий ей закон распределения.
X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности проще всего вычислисть по правилу умножения вероятностей . Получаем следующий закон распределения дискретной случайной величины:
| Значение | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Вероятность | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Пример 4. Составить закон распределения дискретной случайной величины - числа попаданий в цель при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.
Решение. Дискретная случайная величина X
может принимать пять различных
значений: 1, 2, 3, 4, 5. Соответствующие им вероятности найдём по формуле Бернулли
.
При
n = 4 ,
p = 1,1 ,
q = 1 - p = 0,9 ,
m = 0, 1, 2, 3, 4
получаем
Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид
Если вероятности значений дискретной случайной величины можно определить по формуле Бернулли, то случайная величина имеет биномиальное распределение .
Если число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в этих испытаниях интересующее событие наступит именно m раз, подчиняется закону распределения Пуассона .
Функция распределения дискретной случайной величины: вычисление
Чтобы вычислить функцию распределения дискретной случайной величины F (х ), требуется сложить вероятности всех тех значений, которые меньше или равны граничному значению х .
Пример 5. В таблице данные о зависимости числа расторгнутых в течение года браков от длительности брака. Найти вероятность того, что очередной расторгнутый брак имел длительность менее или равную 5 годам.
| Длительность брака (лет) | Число | Вероятность | F (x ) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 и более | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Всего | 6010 | 1 |
Решение. Вероятности вычислены путём деления числа соответствующих расторгнутых браков на общее число 6010. Вероятность того, что очередной расторгнутый брак был длительностью в 5 лет, равна 0,056. Вероятность, что длительность очередного расторгнутого брака меньше или равна 5 годам, равна 0,186. Мы получили её, прибавив к значению F (x ) для браков с длительностью по 4 года включительно вероятность для браков с длительностью в 5 лет.
Связь закона распределения дискретной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией
Часто не все значения дискретной случайной величины известны, но известны некоторые значения или вероятности из ряда, а также математическое ожидание и (или) дисперсия случайной величины , которым посвящён отдельный урок.
Приведём здесь некоторые формулы из этого урока, которые могут выручить при составлении закона распределения дискретной случайной величины и разберём примеры решения таких задач.
Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:
(1)
Формула дсперсии дискретной случайной величины по определению:
Часто для вычислений более удобна следующая формула дисперсии:
, (2)
где 
.
Пример 6. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения. Меньшее значение она принимает с вероятностью p = 0,6 . Найти закон распределения дискретной случайной величины X , если известно, что её математическое ожидание и дисперсия .
Решение. Вероятность того, что случайная величина примет бОльшее значение x 2 , равна 1 − 0,6 = 4 . Используя формулу (1) математического ожидания, составим уравнение, в котором неизвестные - значения нашей дискретной случайной величины:
Используя формулу (2) дисперсии, составим другое уравнение, в котором неизвестные - также значения дискретной случайной величины:
Систему из двух полученных уравнений
решаем методом подстановки. Из первого уравнения получаем
Подставив это выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получим квадратное уравнение
,
которое имеет два корня: 7/5 и −1 . Первый корень не отвечает условиям задачи, так как x 2 < x 1 . Таким образом, значения, которые может принимать дискретная случайная величина X по условиям нашего примера, равны x 1 = −1 и x 2 = 2 .
Можно выделить наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин:
- Биномиальный закон распределения
- Пуассоновский закон распределения
- Геометрический закон распределения
- Гипергеометрический закон распределения
Для данных распределений дискретных случайных величин расчет вероятностей их значений, а также числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия, и т.д.) производится по определенных «формулам». Поэтому очень важно знать данные типы распределений и их основные свойства.
1. Биномиальный закон распределения.
Дискретная случайная величина $X$ подчинена биномиальному закону распределения вероятностей, если она принимает значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$. Фактически, случайная величина $X$ - это число появлений события $A$ в $n$ независимых испытаний . Закон распределения вероятностей случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end{array}$
Для такой случайной величины математическое ожидание $M\left(X\right)=np$, дисперсия $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Пример . В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными $0,5$, найти закон распределения случайной величины $\xi $ - числа мальчиков в семье.
Пусть случайная величина $\xi $ - число мальчиков в семье. Значения, которые может принимать $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Вероятности этих значений можно найти по формуле $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$, где $n=2$ - число независимых испытаний, $p=0,5$ - вероятность появления события в серии из $n$ испытаний. Получаем:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot {0,5}^0\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-0}={0,5}^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-1}=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot {0,5}^2\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-2}={0,5}^2=0,25.$
Тогда закон распределения случайной величины $\xi $ есть соответствие между значениями $0,\ 1,\ 2$ и их вероятностями, то есть:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end{array}$
Сумма вероятностей в законе распределения должна быть равна $1$, то есть $\sum _{i=1}^{n}P(\xi _{{\rm i}})=0,25+0,5+0,25=1 $.
Математическое ожидание $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, среднее квадратическое отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt{D\left(\xi \right)}=\sqrt{0,5}\approx 0,707$.
2. Закон распределения Пуассона.
Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только целые неотрицательные значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.
Замечание . Особенность этого распределения заключается в том, что мы на основании опытных данных находим оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, если полученные оценки близки между собой, то у нас есть основание утверждать, что случайная величина подчинена закону распределения Пуассона.
Пример . Примерами случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона, могут быть: число автомашин, которые будут обслужены завтра автозаправочной станцией; число бракованных изделий в произведенной продукции.
Пример . Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти закон распределения случайной величины $X$, равной числу поврежденных изделий; чему равно $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Пусть дискретная случайная величина $X$ - число поврежденных изделий. Такая случайная величина подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятности значений равны $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.
$P\left(X=0\right)={{1^0}\over {0!}}\cdot e^{-1}=0,368;$
$P\left(X=1\right)={{1^1}\over {1!}}\cdot e^{-1}=0,368;$
$P\left(X=2\right)={{1^2}\over {2!}}\cdot e^{-1}=0,184;$
$P\left(X=3\right)={{1^3}\over {3!}}\cdot e^{-1}=0,061;$
$P\left(X=4\right)={{1^4}\over {4!}}\cdot e^{-1}=0,015;$
$P\left(X=5\right)={{1^5}\over {5!}}\cdot e^{-1}=0,003;$
$P\left(X=6\right)={{1^6}\over {6!}}\cdot e^{-1}=0,001;$
$P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$
Закон распределения случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & {{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda } \\
\hline
\end{array}$
Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равным между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Геометрический закон распределения.
Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только натуральные значения $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=p{\left(1-p\right)}^{k-1},\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, то говорят, что такая случайная величина $X$ подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Фактически, геометрическое распределения представляется собой испытания Бернулли до первого успеха.
Пример . Примерами случайных величин, имеющих геометрическое распределение, могут быть: число выстрелов до первого попадания в цель; число испытаний прибора до первого отказа; число бросаний монеты до первого выпадения орла и т.д.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиненной геометрическому распределению, соответственно равны $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^2$.
Пример . На пути движения рыбы к месту нереста находится $4$ шлюза. Вероятность прохода рыбы через каждый шлюз $p=3/5$. Построить ряд распределения случайной величины $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Найти $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Пусть случайная величина $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Такая случайная величина подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Значения, которые может принимать случайная величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений вычисляются по формуле: $P\left(X=k\right)=pq^{k-1}$, где: $p=2/5$ - вероятность задержания рыбы через шлюз, $q=1-p=3/5$ - вероятность прохода рыбы через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^0={{2}\over {5}}=0,4;$
$P\left(X=2\right)={{2}\over {5}}\cdot {{3}\over {5}}={{6}\over {25}}=0,24;$
$P\left(X=3\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^2={{2}\over {5}}\cdot {{9}\over {25}}={{18}\over {125}}=0,144;$
$P\left(X=4\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^3+{\left({{3}\over {5}}\right)}^4={{27}\over {125}}=0,216.$
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end{array}$
Математическое ожидание:
$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{x_ip_i}=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
Дисперсия:
$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2=}0,4\cdot {\left(1-2,176\right)}^2+0,24\cdot {\left(2-2,176\right)}^2+0,144\cdot {\left(3-2,176\right)}^2+$
$+\ 0,216\cdot {\left(4-2,176\right)}^2\approx 1,377.$
Среднее квадратическое отклонение:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{1,377}\approx 1,173.$
4. Гипергеометрический закон распределения.
Если $N$ объектов, среди которых $m$ объектов обладают заданным свойством. Случайных образом без возвращения извлекают $n$ объектов, среди которых оказалось $k$ объектов, обладающих заданным свойством. Гипергеометрическое распределение дает возможность оценить вероятность того, что ровно $k$ объектов в выборке обладают заданным свойством. Пусть случайная величина $X$ - число объектов в выборке, обладающих заданным свойством. Тогда вероятности значений случайной величины $X$:
$P\left(X=k\right)={{C^k_mC^{n-k}_{N-m}}\over {C^n_N}}$
Замечание . Статистическая функция ГИПЕРГЕОМЕТ мастера функций $f_x$ пакета Excel дает возможность определить вероятность того, что определенное количество испытаний будет успешным.
$f_x\to $ статистические $\to $ ГИПЕРГЕОМЕТ $\to $ ОК . Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Число_успехов_в_выборке указываем значение $k$. Размер_выборки равен $n$. В графе Число_успехов_в_совокупности указываем значение $m$. Размер_совокупности равен $N$.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины $X$, подчиненной геометрическому закону распределения, соответственно равны $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}$.
Пример . В кредитном отделе банка работают 5 специалистов с высшим финансовым образованием и 3 специалиста с высшим юридическим образованием. Руководство банка решило направить 3 специалистов Для повышения квалификации, отбирая их в случайном порядке.
а) Составьте ряд распределения числа специалистов с высшим финансовым образованием, которые могут быть направлены на повышение квалификации;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
Пусть случайная величина $X$ - число специалистов с высшим финансовым образованием среди трех отобранных. Значения, которые может принимать $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Данная случайная величина $X$ распределена по гипергеометрическому распределению с параметрами: $N=8$ - размер совокупности, $m=5$ - число успехов в совокупности, $n=3$ - размер выборки, $k=0,\ 1,\ 2,\ 3$ - число успехов в выборке. Тогда вероятности $P\left(X=k\right)$ можно рассчитать по формуле: $P(X=k)={C_{m}^{k} \cdot C_{N-m}^{n-k} \over C_{N}^{n} } $. Имеем:
$P\left(X=0\right)={{C^0_5\cdot C^3_3}\over {C^3_8}}={{1}\over {56}}\approx 0,018;$
$P\left(X=1\right)={{C^1_5\cdot C^2_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {56}}\approx 0,268;$
$P\left(X=2\right)={{C^2_5\cdot C^1_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {28}}\approx 0,536;$
$P\left(X=3\right)={{C^3_5\cdot C^0_3}\over {C^3_8}}={{5}\over {28}}\approx 0,179.$
Тогда ряд распределения случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end{array}$
Рассчитаем числовые характеристики случайной величины $X$ по общим формулам гипергеометрического распределения.
$M\left(X\right)={{nm}\over {N}}={{3\cdot 5}\over {8}}={{15}\over {8}}=1,875.$
$D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}={{3\cdot 5\cdot \left(1-{{5}\over {8}}\right)\cdot \left(1-{{3}\over {8}}\right)}\over {8-1}}={{225}\over {448}}\approx 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{0,502}\approx 0,7085.$
Определение 2.3. Случайная величина, обозначаемая X, называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное множество значений, т.е. множество – конечное либо счетное множество.
Рассмотрим примеры дискретных случайных величин.
1.
Однократно бросают две монеты. Число выпадений гербов в этом эксперименте – случайная величина Х
. Ее возможные значения 0,1,2, т. е. 
– конечное множество.
2. Регистрируется число вызовов "Скорой помощи" в течение некоторого заданного промежутка времени. Случайная величина Х – число вызовов. Ее возможные значения 0, 1, 2, 3, ...,т.е. ={0,1,2,3,...}– счетное множество.
3. В группе 25 студентов. В какой-то день регистрируется число студентов, пришедших на занятия, – случайная величина Х . Ее возможные значения: 0, 1, 2, 3, ...,25 т.е. ={0, 1, 2, 3, ..., 25}.
Хотя все 25 человек в примере 3 пропустить занятия не могут, но случайная величина Х принимать это значение может. Это означает, что значения случайной величины обладают различной вероятностью.
Рассмотрим математическую модель дискретной случайной величины.
Пусть проводится случайный эксперимент, которому соответствует конечное или счетное пространство элементарных событий . Рассмотрим отображение этого пространства на множество действительных чисел, т. е. каждому элементарному событию поставим в соответствие некоторое действительное число , . Множество чисел при этом может быть конечным или счетным, т. е. 
или
Система подмножеств, в которую входит любое подмножество , в том числе одноточечное, образует -алгебру числового множества ( – конечно или счетно).
Поскольку любому элементарному событию поставлены в соответствие определенные вероятности р i (в случае конечного все ), причем , то и каждому значению случайной величины можем поставить в соответствие определенную вероятность р i , такую, что .
Пусть х
– произвольное действительное число. Обозначим Р Х (х)
вероятность того, что случайная величина Х
приняла значение, равное х
, т.е. Р Х (х)=Р(Х=х)
. Тогда функция Р Х (х)
может принимать положительные значения лишь при тех значениях х
, которые принадлежат конечному либо счетному множеству 
, а при всех остальных значениях вероятность этого значения Р Х (х)=0.
Итак, мы определили множество значений , -алгебру как систему любых подмножеств и каждому событию {X = х } сопоставили вероятность дпя любых , т.е. построили вероятностное пространство .
Например, пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в двукратном подбрасывании симметричной монеты, состоит из четырех элементарных событий: , где
При двукратном подбрасывании монеты выпали две решетки ; при двукратном подбрасывании монеты выпали два герба ;
При первом подбрасывании монеты выпала решетка, а при втором – герб ;
При первом подбрасывании монеты выпал герб, а при втором – решетка .
Пусть случайная величина Х
– число выпадений решетки. Она определена на и множество ее значений 
. Все возможные подмножества , в том числе и одноточечные, образуют - алгебру, т.е. ={Ø, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}.
Вероятность события {Х=х i }, і = 1,2,3 , определим как вероятность появления события, являющегося его прообразом:
Таким образом, на элементарных событиях {X = х i
} задали числовую функцию Р Х
, так, что 
.
Определение 2.4. Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар чисел (х i , р i), где х i – возможные значения случайной величины, а р i – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .
Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующиеим вероятности:
| … | … | ||||
| … | … |
Такая таблица называется рядом распределения. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, его изображают графически: на оси Ох наносят точки х i и проводят из них перпендикуляры длиной р i . Полученные точки соединяют и получают многоугольник, который является однойиз форм закона распределения (рис. 2.1).
Таким образом, для задания дискретной случайной величины нужно задать ее значения и соответствующиеим вероятности.
Пример 2.2. Денежный приемник автомата срабатывает при каждом опускании монеты с вероятностью р . Как только он сработал, монеты не опускают. Пусть Х – число монет, которые надо опустить до срабатывания денежного приемника автомата. Построить ряд распределения дискретной случайной величины Х .
Решение.
Возможные значения случайной величины Х
: х 1 = 1, х 2 = 2,..., х к =к, …
Найдем вероятности этих значений: р 1
– вероятность того, что денежный приемник сработает при первом опускании, и р 1 =р; р 2 –
вероятность того, что будут произведены две попытки. Для этого нужно, чтобы: 1) при первой попытке денежный приемник не сработал; 2) при второй попытке – сработал. Вероятность этого события равна (1–р)р
. Аналогично 
и так далее, 
. Ряд распределения Х
примет вид
| 1 | 2 | 3 | … | к | … | |
| р | qp | q 2 p | q r -1 p |
Заметим, что вероятности р к образуют геометрическую прогрессию со знаменателем: 1–p=q , q<1, поэтому такое распределение вероятностей называется геометрическим .
ІІредположим далее, что построена математическая модель 
эксперимента, описываемого дискретной случайной величиной Х
, и рассмотрим вычисление вероятностей наступления произвольных событий .
Пусть произвольное событие содержит конечное либо счетное множество значений х i : A= {х 1 , х 2 ,..., х i , ... } .Событие А можно представить в виде объединения несовместных событий вида : . Тогда, применяя аксиому Колмогорова 3, получаем
так как вероятности наступления событий мы определили равными вероятностям появления событий, являющихся их прообразами. Это значит, что и вероятность любого события 
, , можно вычислить по формуле , так как это событие представимо в виде, объединения событий , где .
Тогда и функция распределения F(х) = Р(– <Х<х) находится по формуле . Отсюда следует, что функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками, т. е. является ступенчатой функцией (рис. 2.2):
Если множество конечно, то число слагаемых в формуле конечно, если же счётно, то и число слагаемых счетно.
Пример 2.3. Техническое устройство состоит из двух элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность выходаиз строя первого элемента за время Т равна 0,2, а вероятность выхода второго элемента – 0,1. Случайная величина Х – число отказавших элементов за время Т. Найти функцию распределения случайнойвеличины и построить ее график.
Решение.
Пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в исследовании надежности двух элементов технического устройства, определяется четырьмя элементарными событиями , , , : – оба элемента исправны; – первый элемент исправен, второй неисправен; – первый элемент неисправен, второй исправен; – оба элемента неисправны. Каждоеиз элементарных событий можно выразить через элементарные события пространств 
и 
, где – первый элемент исправен; – первый элемент вышел из строя; – второй элемент исправен; – второй элемент вышел из строя. Тогда , и таккак элементы технического устройства работают независимо друг от друга, то
8. Чему равна вероятность того, что значения дискретной случайной величины принадлежат промежутку ?