Простые и составные числа, свойства простых чисел. Простые и составные числа — Гипермаркет знаний

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Определение 1

Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1 .

Определение 2

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Определение 3

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Определение 4

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а, то есть оно будет делиться само на себя и на 1 . Дадим определение целых чисел.

Определение 5

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Простые числа: 2 , 3 , 11 , 17 , 131 , 523 . Они делятся только сами на себя и на 1 . Составные числа: 6 , 63 , 121 , 6697 . То есть число 6 можно разложить на 2 и 3 , а 63 на 1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 63 , а 121 на 11 , 11 , то есть его делители будут 1 , 11 , 121 . Число 6697 разложится на 37 и 181 . Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000 , тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Теорема 1

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Доказательство 1

Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1 , b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а. Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.

Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b , который отличен от 1 как и от b . Такой делитель обозначается как b 1 . Необходимо, чтобы условие 1 < b 1 < b было выполнено.

Из условия видно, что а делится на b , b делится на b 1 , значит, понятие делимости выражается таким образом: a = b · q и b = b 1 · q 1 , откуда a = b 1 · (q 1 · q) , где q и q 1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a = b 1 · (q 1 · q) . Видно, что b 1 – это делитель для числа а. Неравенство 1 < b 1 < b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а.

Теорема 2

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство 2

Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.

Примем на рассмотрение число р, которое равняется p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p 1 , p 2 , … , p n . Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение p n + 1 и показать несовпадение делителя ни с одним из p 1 , p 2 , … , p n .

Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p 1 , p 2 , … , p n , получим, что оно делилось бы на p n + 1 . Заметим, что на выражение p n + 1 делится число р равняется сумме p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получим, что на выражение p n + 1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1 , но это невозможно.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100 , 1000 , 10000 и так далее.

При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.

Рассмотрим пошагово.

Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .

Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2 . Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:

Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5 . Получим:

Вычеркиваем числа, кратные 7 , 11 . В конечном итоге таблица получает вид

Перейдем к формулировке теоремы.

Теорема 3

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a , где a является арифметическим корнем заданного числа.

Доказательство 3

Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа а. Существует такое целое число q , где a = b · q , причем имеем, что b ≤ q . Недопустимо неравенство вида b > q , так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b ≤ q следует умножить на любое положительное число b , не равное 1 . Получаем, что b · b ≤ b · q , где b 2 ≤ a и b ≤ a .

Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа, которое равняется b 2 и удовлетворяет неравенству b 2 ≤ a . То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2 , то процесс начинается с 4 , а кратных 3 – с 9 и так далее до 100 .

Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n . В примере, где n = 50 , у нас имеется, что n = 50 . Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50 . Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Пример 1

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Решение

Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.

Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.

Пример 2

Определить составное или простое число 11723 .

Решение

Теперь необходимо найти все делители для числа 11723 . Необходимо оценить 11723 .

Отсюда видим, что 11723 < 200 , то 200 2 = 40 000 , а 11 723 < 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 108 2 = 11 664 , а 109 2 = 11 881 , то 108 2 < 11 723 < 109 2 . Отсюда следует, что 11723 < 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

При разложении получим, что 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 – это все простые числа. Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19 . Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:

Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19 .

Ответ: 11723 является составным числом.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

>>Математика:Простые и составные числа

4. Простые и составные числа

Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими словами, число 7 имеет только два делителя: 1 и 7. У числа 9 три делителя: 1, 3 и 9. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Такие числа, как 9 и 18, называют составными числами, а такие, как 7, - простыми числами.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Первыми десятью простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29. На форзаце учебника приведена таблица простых чисел от 2 до 997.

Число 78 составное, потому что, кроме 1 и 78, оно делится, например, еще на 2. Так как 78:2 = 39, то 78=2*39. Говорят, что число 78 разложено на множители 2 и 39. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя.

? Какие натуральные числа называют простыми? Какие натуральные числа называют составными? Почему число 1 не является ни простым, ни составным?

К 88. Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31,26,100?

89. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника , определите, какие из чисел 101, 121, 253, 409, 561, 563, 863, 997 являются простыми, а какие составными.

90. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 являются составными.

91. Может ли произведение двух простых чисел быть:

а) простым числом;

б) составным числом?

92. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?

93. Известно, что число m делится на 9. Простым или составным является число m?

94. Разложите на два множителя числа: 38; 77; 145; 159.

95. Сколькими способами можно разложить на два множителя числа 18; 42; 55? Способы, при которых произведения отличаются только порядком

множителей, считайте за один способ.

96. Верно ли, что все четные числа являются составными?

97. Может ли выражаться простым числом объем куба, длина ребра которого выражается натуральным числом?

П 98. Вычислите устно:
а) 0,014-1,1+0,09; 8,1 + 2,99 + 1,01; 1,88+3,7+0,12; 2,8 + 1,85 + 2,15; 1,07 + 0,88+1,93;

б) 15 - 2,3; 0,3-0,29; 7-0,2; 6-2,75; 16,4-4;

в) 2,5-2,7-4; 3,9-0,5-2; 1,25-1,9-8; 4-5,6-0,25; 0,5-30-0,1;

г) 1:10; 8,08:8; 9:100; 6,73:10; 0,7:0,01.

99. Найдите пропущенные числа, если а = 33; 42; 75:

100. Выразите в процентах числа: 0,01; 0,29; 0,8; 1.

101. Выразите в виде десятичных дробей: 2%, 5%, 10%, 20%, 50%, 68%, 100%, 130%.

102. Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота равна 15 см. Можно ли утверждать, что объем (в кубических сантиметрах) этого параллелепипеда выражается числом:

а) кратным 2; б) кратным 3; в) кратным 5?

103. Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырехзначное число , делящееся: а) на 9; б) на 3; в) на 6?

104. Выпишите из чисел 215 783, 3 289 775, 21 112 221, 44 856, 555 444, 757 575, 835 743 те, которые:
а) кратны 3; в) делятся без остатка на 3 и на 5;
б) кратны 9; г) кратны 9 и 2.

105. Верно ли, что если число оканчивается цифрой 6, то оно делится на 6? Верно ли, что если число делится на 6, то его запись оканчивается цифрой 6?

106. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5:

а) 241*; б) 1734*; в) 43*5?

107. Стакан вмещает 210 г крупы. Крупой наполнили стакана. Сколько граммов крупы насыпали в стакан?

М 108. Дочь пообещала: «Я схожу в булочную и вымою посуду». Можно ли обещание считать выполненным, если дочь:

а) вымыла посуду, но не сходила в булочную;

б) сходила в булочную и не вымыла посуду;

в) и вымыла посуду, и сходила в булочную;

в) не вымыла посуду и не была в булочной?

Подумайте, в чем сходство этой задачи с задачей нахождения решений неравенства 2<х<6 среди чисел 1; 3; 5; 7.

Д 109. Докажите, что числа 575, 10 053, 3627, 565 656 являются составными.

110. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника, выберете из чисел 122, 132, 153, 157, 187, 499, 550, 621, 881, 865 и 909 простые числа.

111. Запишите все делители числа 90. Выпишите из них те, которые являются простыми числами.

112. Разложите на два множителя всеми возможными способами числа 30, 33, 42, 99. Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей, считайте за один способ.

113. Периметр прямоугольника 66 дм. Длина его одной стороны составляет периметра. Найдите площадь прямоугольника.

114. Найдите значение выражения (15,964:5,2 -1,2) 0,1.

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Рефераты, домашняя работа по математике скачать , учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Определение 1

Натуральное число $p$ называется простым числом, если у него только $2$ делителя: $1$ и оно само.

Делителем натурального числа $a$ называют натуральное число, на которое исходное число $a$ делится без остатка.

Пример 1

Найти делители числа $6$.

Решение: Нам надо найти все числа, на которые заданное число $6$ делится без остатка. Это будут числа: $1,2,3,6.$ Значит делителем числа $6$ будут числа $1,2,3,6.$

Ответ: $1,2,3,6$.

Значит, для того, чтобы найти делители числа надо найти все натуральные числа, на которые данное делится без остатка. Нетрудно заметить, что число $1$ будет являться делителем любого натурального числа.

Пример 2

На сколько равных кучек можно разделить $15$ орехов?

Решение. Нам необходимо разделить поровну нацело $15$ орехов, т.е. найти делители числа $15$.Найдем числа, на которые число $15$ делится без остатка.

Это числа:$1,3,5,15$. Значит $15$ орехов можно разделить на $1,3,5,15$ равных кучек.

Ответ: на $1,3,5,15$ кучек.

Определение 2

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Примером простого числа может являться число $13$, примером составного число $14$.

Замечание 1

Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.

Наибольший общий делитель

Определение 4

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители
  2. Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 3

Найти НОД чисел $63$ и $81$.

Решение: Найдём НОД чисел $63$ и $81$

    Разложим числа на простые множители

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=3\cdot 3=9$

Свойство составных и простых чисел

Теорема 1

Любое составное число можно разложить на $2$ множителя, каждый из которых больше единицы. Простое число так представить нельзя.

Действительно, простое число $17$ можно представить в виде произведения множителей только так: $17=1\cdot 17$, а составное число $18=1\cdot 2\cdot 9$. У составного числа $18$ три множителя, два из которых больше единицы.

Замечание 2

Всякое составное число можно разложить на простые множители и представить в виде произведения множителей, которые являются простыми числами.

Свойства простых чисел

    Если простое число $p$ делится на простое число $q$, то эти числа равны $(p=q)$. Действительно, если $p$ - простое число, то оно по определению имеет только два делителя, а именно $1$ и $p$. Но т.к. по условию $р\vdots q$, значит $q$ равно либо $1$, либо $p$. Т. к $q≠1$, значит $p=q$.

    Если $p$- простое число, то любое натуральное число либо делится на $p$, либо взаимно простое с $p$.

    В самом деле, допустим, что $p$ и $n$- не взаимно простые. И либо опровергнем, либо убедимся в этом. Если указанные числа не взаимно простые, то у них должен быть хотя бы один общий делитель, отличный от $1$, обозначим его $d$. Но по условию $p$- простое число, значит имеет по определению, всего два делителя-$1$ и $p$.Поскольку $d≠1$, то $d=p$, и поэтому $n$ делится на $p$.

    Произведение натуральных чисел $a$ и $b$ делится на простое число $p$ в том случае, когда хотя бы одно из этих чисел делится на $p$.

    Данное утверждение верно для произведения нескольких множителей- если такое произведение делится на простое число $p$, то хотя бы один из множителей делится на $p$.

    Любое натуральное число, отличное от $1$, является либо простым, либо произведением простых чисел

    Если натуральное число m делится на простое число $p$, то в любом разложении этого числа на простые множители хотябы один из множителей равен $p$.

    Действительно, пусть $m=p_{1\dots \dots .}p_k$-разложение на множители.Так как $m\vdots p$, то по утверждению,данному в п.3 хотя бы один из множителей делится на $p$.Пусть, например $р_1\vdots p$.Тогда по утверждению, данному в п.1 выполняется равенство $р_1=p$

    Любые два разложения составного числа отличаются друг от друга только порядком множителей.

Замечание 3

Из простых чисел с помощью умножения можно постоить все натуральные числа.

Свойства простых чисел

    Среди простых чисел нет наибольшего

    Если $n$-составное натуральное число, то среди его простых делителей есть хотя бы один делитель $p$, такой, что $р^2\le n$.

    Второе свойство можно успешно использовать при разложении числа на множители или при проверке его на простоту. Достаточно ограничиться проверкой делимости числа $n$ на простые делители p,для которых будет выполняться $р^2\le n$.

Пример 4

Проверить, является ли число $91$ составным.

Решение: Так как $7^2

Простые и составные числа. Примеры. Определение. Следствия.

Вве-де-ние

Любое число можно пред-ста-вить в виде про-из-ве-де-ния еди-ни-цы на само это число.

На-при-мер,

В общем виде

Вывод: вся-кое число де-лит-ся на само себя и на еди-ни-цу.

Рас-смот-рим таб-ли-цу

В за-ви-си-мо-сти от ко-ли-че-ства де-ли-те-лей среди на-ту-раль-ных чисел вы-де-ля-ют про-стые и со-став-ные.

Опре-де-ле-ния:

Число, ко-то-рое имеет толь-ко два раз-лич-ных де-ли-те-ля - еди-ни-цу и само это число - на-зы-ва-ют про-стым.

Число, ко-то-рое имеет более двух де-ли-те-лей, на-зы-ва-ют со-став-ным.

Число 1 имеет един-ствен-ный де-ли-тель. По-это-му еди-ни-цу не от-но-сят ни к со-став-ным, ни к про-стым чис-лам.

След-ствие 1

Все на-ту-раль-ные числа можно раз-бить на 3 груп-пы:

  1. Число 1. Оно имеет един-ствен-ный де-ли-тель.
  2. Про-стые числа. Они имеют в точ-но-сти два де-ли-те-ля.
  3. Со-став-ные числа. У этих чисел более двух де-ли-те-лей.

Чтобы узнать, про-стым или со-став-ным яв-ля-ет-ся число, можно вос-поль-зо-вать-ся таб-ли-ца-ми.

Таб-ли-ца про-стых чисел от 2 до 997 при-ве-де-на на фор-за-це учеб-ни-ка. Пер-вые де-сять про-стых чисел - это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. По-лез-но вы-учить их на-и-зусть.

След-ствие 2

Разбор примера. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 676 являются составными.

До-ка-жи-те, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 яв-ля-ют-ся со-став-ны-ми.

Разбор примера. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

Может ли про-из-ве-де-ние двух про-стых чисел быть про-стым чис-лом?

Пусть a и b - это неко-то-рые про-стые числа. Число a де-лит-ся на 1 и на само себя. Число b де-лит-ся на 1 и на само себя.

Рас-смот-рим про-из-ве-де-ние . Мы знаем, что если одно из двух чисел де-лит-ся на неко-то-рое число, то их про-из-ве-де-ние де-лит-ся на это число.

Кроме того, про-из-ве-де-ние де-лит-ся на еди-ни-цу и на само себя.

Вывод: Про-из-ве-де-ние имеет, как ми-ни-мум, че-ты-ре де-ли-те-ля. Зна-чит, это со-став-ное число. Оно не может быть про-стым.

Разбор примера. Найдите два составных числа m, которые удовлетворяют неравенству 56

Най-ди-те два со-став-ных числа m, ко-то-рые удо-вле-тво-ря-ют нера-вен-ству .

Разбор примера. Верно ли, что все четные числа являются составными?

Верно ли, что все чет-ные числа яв-ля-ют-ся со-став-ны-ми?

Ответ: невер-но. При-ме-ром слу-жит число 2.

Разбор примера. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?

Может ли пло-щадь квад-ра-та вы-ра-жать-ся про-стым чис-лом, если длина его сто-ро-ны вы-ра-жа-ет-ся на-ту-раль-ным чис-лом?

Рас-смот-рим квад-рат со сто-ро-ной a.

а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а . Действительно, а:1 = а, а:а = 1.

Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.

Натуральное число называют простым , если оно имеет только два натуральных делителя : единицу и само это число.

Для комфорта была сформирована таблица простых чисел . Число два - минимальное простое число. Заметим, что это единственное чётное простое число. Фактически, все другие чётные числа имеют минимально три делителя: число 1, число 2 и само число.

Простых чисел бесчисленное множество . Максимального простого числа не бывает.

У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.

Например: 10=2 .5;

80 = 2 . 2 . 2 . 2 . 5;

81= 3 . 3 . 3 . 3;

200 = 2 .2 .2 .5 .5.

Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью .

Например :

18 = 2 . 3 2 ; 80 = 2 4 . 5; 81 = 3 4 ; 200 = 2 3 - 5 2 .

При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:

1) 2940 поделится на 2, 2940: 2 = 1470 ;

2) 1470 поделится на 2, 1470: 2 = 735 ;

3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735: 3 = 245 ;

4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245: 5 = 49 ;

5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49: 7 = 7 ;

6) 7 поделится на 7, 7: 7 = 1 .

Таким образом , 2940 = 2 . 1470 = 2 . 2 . 735 = 2 . 2 . 3 . 245 = = 2 . 2 . 3 . 5 . 49 = 2 . 2 . 3 . 5 . 7 . 7 = 2 2 . 3 . 5 . 7 2 .

Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…….

Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.

Рекомендуем почитать