Матричный метод решения. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.

Матричный метод решения - метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A -1 · B , где A -1 - обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B , где A - основная матрица системы, B и X - столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A -1 - матрицу, обратную к матрице A : A -1 (AX ) = A -1 B

Так как A -1 A = E , получаем X = A -1 B . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A : detA ≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0 , действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , ..., x n :

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n .

В соответствии с правилом умножения матрицрассмотренная система линейных уравнений может быть записана вматричной форме Ax=b , где

, ,.

Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы . Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b , является матричным уравнением .

Если матрица системы невырождена , то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:

x=A -1 b .

Пример Решить систему матричным методом.

Решение найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:

Поскольку Δ ≠ 0 , то A -1 существует.

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы

Следовательно, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Проверка:

7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.

Система линейных уравнений имеет вид:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

где A = (а i j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы , X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i .

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1 , x 2 ,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такой, что AC  B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M =  (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной );

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной ). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (mn); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа :

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.

Пример 2.12 . Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

 .

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7  0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной матрицы A рассмотрим окаймляющий минор

значит, ранг расширенной матрицы r(A) = 3. Поскольку r(A)  r(A), то система несовместна.

Назначение сервиса . С помощью данного онлайн-калькулятора вычисляются неизвестные {x 1 , x 2 , ..., x n } в системе уравнений. Решение осуществляется методом обратной матрицы . При этом:

вычисляется определитель матрицы A ;
через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 ;
осуществляется создание шаблона решения в Excel ;

Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. пример оформления).

Инструкция . Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B .

См. также Решение матричных уравнений .

Алгоритм решения

Вычисляется определитель матрицы A . Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 .
Вектор решения X ={x 1 , x 2 , ..., x n } получается умножением обратной матрицы на вектор результата B .

Пример . Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.

A 1,1 = (-1) 1+1

1	2
0	-2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3	2
1	-2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3	1
1	0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2	1
0	-2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2	1
1	-2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2	-2
1	0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2	1
1	2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными:

Умножим это матричное уравнение слева на A -1 - матрицу, обратную к матрице A : A -1 (AX ) = A -1 B

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Матричный метод позволяет находить решения СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) любой сложности. Весь процесс решения СЛАУ сводится к двум основным действиям:

Определение обратной матрицы на основании главной матрицы:

Умножение полученной обратной матрицы на вектор-столбец решений.

Допустим, дано СЛАУ следующего вида:

\[\left\{\begin{matrix} 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end{matrix}\right.\]

Начнем решение данного уравнения с выписывания матрицы системы:

Матрица правой части:

Определим обратную матрицу. Найти матрицу 2-го порядка можно следующим образом: 1 - сама матрица должна быть невырожденной; 2 - ее элементы, которые находятся на главной диагонали, меняем местами, а у элементов побочной диагонали выполняем смену знака на противоположный, после чего выполняем деление полученных элементов на определитель матрицы. Получим:

\[\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix} \]

2 матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы. В итоге имеем следующий ответ решения СЛАУ:

Где можно решить систему уравнений матричным методом онлайн?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте.